a.

Nếu p và q cùng lẻ \(\Rightarrow pq+13\) là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số (loại)

Nếu p;q cùng chẵn \(\Rightarrow5p+q\) là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số (loại)

\(\Rightarrow\) p và q phải có 1 số chẵn, 1 số lẻ

TH1: p chẵn và q lẻ \(\Rightarrow p=2\)

Khi đó \(2q+13\) và \(q+10\) đều là số nguyên tố

- Nếu \(q=3\Rightarrow2q+13=2.3+13=19\) là SNT và \(q+10=13\) là SNT (thỏa mãn)

- Với \(q>3\Rightarrow q\) không chia hết cho 3 \(\Rightarrow q=3k+1\) hoặc \(q=3k+2\)

Với \(q=3k+1\Rightarrow2q+13=2\left(3k+1\right)=3\left(2k+5\right)⋮3\) là hợp sô (loại)

Với \(q=3k+2\Rightarrow q+10=3k+12=3\left(k+4\right)⋮3\) là hợp số (loại)

TH2: p lẻ và q chẵn \(\Rightarrow q=2\)

Khi đó \(2p+13\) và \(5p+2\) đều là số nguyên tố

- Với \(p=3\Rightarrow2p+13=19\) là SNT và \(5p+2=17\) là SNT (thỏa mãn)

- Với \(p>3\Rightarrow p\) ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow p=3k+1\) hoặc \(p=3k+2\)

Với \(p=3k+1\Rightarrow2p+13=3\left(2p+5\right)⋮3\) là hợp số (loại)

Với \(p=3k+2\Rightarrow5p+2=3\left(5k+4\right)⋮3\) là hợp số (loại)

Vậy \(\left(p;q\right)=\left(2;3\right);\left(3;2\right)\) thỏa mãn yêu cầu

b.

x là số tự nhiên \(\Rightarrow x^2+4x+32>x+4\)

Do p là số nguyên tố mà \(\left(x^2+4x+32\right)\left(x+4\right)=p^n\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+4x+32=p^a\\x+4=p^b\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a>b\\a+b=n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+4x+32}{x+4}=\dfrac{p^a}{p^b}\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{32}{x+4}=p^{a-b}\)

Do \(p^{a-b}\) là số nguyên dương khi \(a>b\) và x là số nguyên

\(\Rightarrow\dfrac{32}{x+4}\) là số nguyên

\(\Rightarrow x+4=Ư\left(32\right)\)

Mà \(x+4\ge4\Rightarrow x+4=\left\{4;8;16;32\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{0;4;12;28\right\}\)

Thay vào \(\left(x^2+4x+32\right)\left(x+4\right)=p^n\)

- Với \(x=0\Rightarrow128=p^n\Rightarrow2^7=p^n\Rightarrow p=2;n=7\)

- Với \(x=4\Rightarrow512=p^n\Rightarrow2^9=p^n\Rightarrow p=2;n=9\)

- Với \(x=12\Rightarrow3584=p^n\) (loại do 3584 không phải lũy thừa của 1 SNT)

- Với \(x=28\Rightarrow29696=p^n\) (loại do 29696 không phải lũy thừa của 1 SNT)

Vậy \(\left(x;p;n\right)=\left(0;2;7\right);\left(4;2;9\right)\)

D có 56 ước tự nhiên, bao gồm 1 tức 2^0.3^0

=> Số ước của D là (x+1).(y+1) = 56  (1)

Mà x+y=13 => y = 13-x    (2)

Thay (2) vào (1) để giải, ta có 2 trường hợp:

 x=6,y=7 và x=7,y=6.

Chúc em học tốt!

b) -Nếu p=3 => p+2 = 5 là số nguyên tố

                       p+ 4=7 là số nguyên tố

              => p= 3 (chọn)

-Nếu p > 3 mà p là số nguyên tố

   => p = 3k+1 hoặc p= 3k+2

    +) Nếu p= 3k+1=> p+2= 3k+1 +2 = 3k+3

                                     =3(k+1) chia hết cho 3( là hợp số)

                         => p=3k+1 (loại)

      +) Nếu p= 3k+2=> p+4=3k+2 +4 =3k+6 

                                          =3(k+2) chia hết cho 3(là hợp số)

                  => p=3k+2 (loại)

Vậy p= 3

Gọi d là ƯCLN của 7n+13 và 2n+4

=> 7n+13 .

n=0 bạn ơi. Tui không muốn làm mấy bài như vầy nhầm chỗ nào thì ấy lắm.@@