Bài toán khá hay, giải bài này như sau:

Giả sử \(\left(12n+1,30n+1\right)=d\left(d\inℕ\right)\)

Ta có:

        \(5\left(12n+1\right)=60n+5⋮d\)     (1)

         \(2\left(30n+1\right)=60n+2⋮d\)    (2)

Lấy (1) trừ (2);

\(60n+5-\left(60n+2\right)=3⋮d\)

Do 12n+1 và 30n+1 không chia hết cho 3 nên d=1.

Vậy \(\left(12n+1,30n+1\right)=1\)

+ Với n = 1 :

Vậy (2) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: 

Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là: 

Thật vậy, ta có :

Gọi d là ƯCLN ( 12n+1; 30n+2 )

=> 12n + 1 ⋮ d => 5.( 12n + 1 ) ⋮ d => 60n + 5 ⋮ d ( 1 )

=> 30n + 2 ⋮ d => 2.( 30n + 2 ) ⋮ d => 60n + 4 ⋮ d ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => [ ( 60n + 5 ) - ( 60n + 4 ) ] ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯCLN ( 12n + 1 ; 30n + 2 ) = 1 nên 12n+1/30n+2 là p/s tối giản 

Gọi d là ước chung của 12n+1 và 30n+2 ta có:

5.(12n+1)-2.(30n+2)=60n+5-60n-4=1 chia hết cho d

Vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

Gọi d là ƯC(12n+1,30n+1)                 (d thuộc N*)

=> 12n+1 chia hết cho d;30n+1 chai hết cho d

=>5(12n+1) chia hết cho d;2(30n+1) chia hết cho d

    60n+5 chai hết cho d;60n+2 chia hết cho d

=>(60n+5)-(60n+2) chia hết cho d

    60n+5-60n-2      chia hết cho d

    (60n-60n)+(5-2)  chia hết cho d

                      3     chia hết cho d

       => d thuộc {1;3}

       Hay ƯC(12n+1;30n+1) thuộc {1;3}

Mà 12n+1 và 30n+1 không chia hết cho 3 vì:

12n và 30n chia hết cho 3

Mà 1 không chia hết cho 3 nên 12n+1 và 30n+1 không chia hết cho 3

Do đó ƯC(12n+1;30n+1) thuộc {1}

         => ƯCLN(12n+1;30n+1) = 1

   Vậy ƯCLN(12n+1;30n+1) = 1 (với n thuộc N)

12n+1 / 30n+1 tới giản

suy ra ĐPCM

Gọi ước chung của 12n + 1 và 30n + 2 là d 

                               Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

                                ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(12n+1\right).5⋮d\\\left(30n+2\right).2⋮d\end{matrix}\right.\)

                                       \(\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

                                 ⇒ 60n + 5  - (60n + 4)⋮ d

                                 ⇒ 60n + 5 - 60n - 4 ⋮ d

                                ⇒  1 ⋮ d

   ⇒ d = 1 vậy ước chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2 là 1

Hay 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Gọi ước chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 4 là d

Ta có:    \(\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

  ⇒        \(\left\{{}\begin{matrix}5.\left(12n+1\right)⋮d\\2.\left(30n+4\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

  ⇒          \(\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

⇒ 60n + 8 - 60n - 5 ⋮ d

               3               ⋮ d

                d \(\in\) {1; 3}

Nếu d = 3 ⇒ 30n + 4 ⋮ 3

                 ⇒ 4 ⋮ 3 (loại)

    ⇒ d = 1hay 12n + 1 và 30n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

bạn tìm ước chung lớn nhất của từ và mẫu bằng cách làm mất chữ

Gọi UCLN(12n+1;30n+2)=d

Ta có:12n+1 chia hết cho d           =>5(12n+1) chia hết cho d       =>60n+5 chia hết cho d

30n+2 chia hết cho d                    =>2(30n+2) chia hết cho d       =>60n+4 chia hết cho d

=>(60n+5)-(60n+4) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

Gọi d là ƯC ( 12n + 1 ; 30n + 2 )

=> 12n + 1 ⋮ d => 5.( 12n + 1 ) ⋮ d => 60n + 5 ⋮ d ( 1 )

=> 30n + 2 ⋮ d => 2.( 30n + 2 ) ⋮ d => 60n + 4 ⋮ d ( 2 )

=> [ ( 60n + 5 ) - ( 60n + 4 ) ] ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯC ( 12n + 1 ; 30n + 2 ) = 1 nên \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là p/s tối giản ( đpcm )

GOOD LOOK !!!!