a) Gọi pt đường thẳng AB là \(y=ax+b\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1=a+b\\-1=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow y=2x-1\)

b) Thế \(C\left(2;3\right)\) vào pt đường thẳng AB thì ta thấy \(3=2.2-1\)

\(\Rightarrow C\in\) đường thẳng AB \(\Rightarrow A,B,C\) thẳng hàng

+ Xét điểm A(1;0)

  Thay x = 1 vào công thức \(y=-\frac{1}{3}x\)

   ta được: \(y=-\frac{1}{3}.1=-\frac{1}{3}\)(khác tung độ của A)

  Vậy điểm A(1;0) không thuộc đồ thị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x\)

+ Xét điểm B(-1:-2)

  Thay x = -1 vào công thức ​\(y=-\frac{1}{3}x\)

  ta được: \(y=-\frac{1}{3}.\left(-1\right)=\frac{1}{3}\)(khác tung độ của B)

  Vậy điểm B(-1:-2) không thuộc đồ thị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x\)

+ Xét điểm C(3;-1)

   Thay x = 3 vào công thức ​\(y=-\frac{1}{3}x\)

  ta được: \(y=-\frac{1}{3}.3=-1\)(bằng tung độ của C)

  Vậy điểm C(3;-1) thuộc đồ thị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x\)

+ Xét điểm \(D\left(1;\frac{1}{3}\right)\)

   Thay x = 1 vào công thức ​\(y=-\frac{1}{3}x\)

  ta được: \(y=-\frac{1}{3}.1=-\frac{1}{3}\)(khác tung độ của D)

  Vậy điểm \(D\left(1;\frac{1}{3}\right)\) không thuộc đồ thị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x\)

tung độ là j

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;-4\right)\)

Ta có: ABCD là hình bình hành

nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{DC}=\left(-1;-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D-3=-1\\y_D-3=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=2\\y_D=-1\end{matrix}\right.\)

Tham khảo:

I nằm trên Δ nên I(x;2x+1)

\(IA=IB\)

=>IA^2=IB^2

=>(x+1)^2+(2x+1-1)^2=(x-1)^2+(2x+1+3)^2

=>x^2+2x+1+4x^2=x^2-2x+1+4x^2+16x+16

=>14x+17=2x+1

=>12x=-16

=>x=-4/3

=>I(-4/3;-5/3)

mà A(-1;1)

nên \(R=\sqrt{\left(-1+\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(1+\dfrac{5}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{65}}{3}\)

=>\(\left(C\right):\left(x+\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{3}\right)^2=\dfrac{65}{9}\)

1.

Gọi \(M\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-x;2-y;-3-z\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-2-x;-y;2-z\right)\end{matrix}\right.\)

\(2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-2x=-2-x\\4-2y=-y\\-6-2z=2-z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=4\\z=-8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(4;4;-8\right)\)

2.

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;2;-4\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(0;1;c-2\right)\end{matrix}\right.\)

Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Rightarrow-2.0+2.1-4\left(c-2\right)=0\)

\(\Rightarrow c=\dfrac{5}{2}\)

Vậy \(C\left(1;0;\dfrac{5}{2}\right)\)

b: Gọi phương trình đường thẳng OA là y=ax+b

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\cdot0+b=0\\a\cdot1+b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\a=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy: y=1/2x

Thay x=-2 vào y=1/2x, ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-2\right)=-1=y_B\)

Vậy: A,B,O thẳng hàng