Cho\(x_1,x_2,x_3,....,x_n\in\left\{-1;1\right\}\) , n \(\in\)N* thỏa mãn :\(x_1x_2+x_2x_3+....+x_nx_1=0\)
Chứng minh: \(n⋮4\)
Cho n số thực \(x_1;x_2;x_3;...;x_n\left(n\ge3\right)\)
\(CMR:max\left\{x_1;x_2;x_3;...;x_n\right\}\ge\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}+\frac{\left|x_1-x_2\right|+\left|x_2-x_3\right|+...+\left|x_{n-1}-x_n\right|+\left|x_n-x_1\right|}{2n}\)
\(max\left\{x_1;x_2;...;x_n\right\}\ge\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}+\frac{\left|x_1-x_2\right|+\left|x_2-x_3\right|+...+\left|x_{n-1}-x_n\right|+\left|x_n-x_1\right|}{2n}\)
Đề Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSP Hà Nội 2012-2013
NGUỒN:CHÉP MẠNG,CHÉP Y CHANG CHỨ E KO HIỂU GÌ ĐÂU(vài dòng đầu)-lỡ như anh cần mak ko có key. ( VÔ TÌNH TRA TÀI LIỆU THÌ THẦY BÀI NÀY )
P/S:Xin đừng bốc phốt.
Để ý trong 2 số thực x,y bất kỳ luôn có
\(Min\left\{x;y\right\}\le x,y\le Max\left\{x,y\right\}\) và \(Max\left\{x;y\right\}=\frac{x+y+\left|x-y\right|}{2}\)
Ta có:
\(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}+\frac{\left|x_1-x_2\right|+\left|x_2-x_3\right|+.....+\left|x_n-x_1\right|}{2n}\)
\(=\frac{x_1+x_2+\left|x_1-x_2\right|}{2n}+\frac{x_2+x_3+\left|x_2-x_3\right|}{2n}+.....+\frac{x_3+x_4+\left|x_3-x_4\right|}{2n}+\frac{x_4+x_5+\left|x_4-x_5\right|}{2n}\)
\(\le\frac{Max\left\{x_1;x_2\right\}+Max\left\{x_2;x_3\right\}+.....+Max\left\{x_n;x_1\right\}}{n}\)
\(\le Max\left\{x_1;x_2;x_3;.....;x_n\right\}^{đpcm}\)
CMR: nếu \(x_1=\frac{1}{x_2}=x_2+\frac{1}{x_3}=x_3+\frac{1}{x_4}=.....=x_n+\frac{1}{x_1}\)
thì \(x_1=x_2=x_3=...=x_n\)
hoặc \(\left|x_1.x_2.x_3......x_n\right|=1\)
Ai nhanh mk tik
dễ vãi luôn ai thấy đúng cho
Với n=2
=> \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\)
\(\Rightarrow x_1-x_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=0\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_1-x_2=0\\1-\frac{1}{x_1x_2}=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=x_2\\x_1x_2=1\end{cases}}}\)
*) n=k
=> \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}=...=x_k+\frac{1}{x_k}\)
thì \(x_1=x_2=x_3=...=x_k\)hoặc \(\left|x_1x_2...x_k\right|=0\)
Với n=k+1
=> \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}=x_3+\frac{1}{x_3}=...x_{k+1}+\frac{1}{x_1}\)
=> \(x_1+\frac{1}{x_2}=x_2+\frac{1}{x_3}=....=x_k+\frac{1}{x_{k+1}}=x_{k+1}+\frac{1}{x_1}\)
\(\Rightarrow x_{k-1}+\frac{1}{x_k}=x_k+\frac{1}{x_1}=x_{k+1}+\frac{1}{x_1}\)
\(\Rightarrow x_k-x_{k+1}=0\)
\(\Rightarrow x_k=x_{k+1}\)
\(\Rightarrow x_1=x_2=...=x_k=x_{k+1}\)
bạn Nguyễn Đức Nam cho mình hỏi, bạn nói bài dễ thì sao bạn ko làm đi, bài này chỉ dễ với bạn thôi chứ rất khó với nhiều người, ng.ta ko bt làm mới đăng bài lên mà, bạn ko bt làm thì đừng cmt như thật nhé
Cho \(x_i\in\left[1;\sqrt{2}\right]\)
Chứng minh: \(\frac{\sqrt{x_1^2}-1}{x_2}+\frac{\sqrt{x_2^2}-1}{x_3}+...+\frac{\sqrt{x_n^2}-1}{x_1}\le\frac{n\sqrt{2}}{2}\)
Chắc bạn đánh nhầm đề. Đây là bài 7 trong báo TTT tháng trước. (Nếu mình sửa sai thì mình xin lỗi nhé).
Sửa đề: Cho \(n\in\mathbb{N},n\geq 2\) và \(x_i\in[1;\sqrt{2}] \forall i\in\overline{1,n}\).
Chứng minh: \(\dfrac{\sqrt{x_1^2-1}}{x_2}+\dfrac{\sqrt{x_2^2-1}}{x_3}+...+\dfrac{\sqrt{x_n^2-1}}{x_1}\le\dfrac{n\sqrt{2}}{2}\).
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\dfrac{\sqrt{x_1^2-1}}{x_2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2.\sqrt{x_1^2-1}.\dfrac{\sqrt{2}}{x_2}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.\left(x_1^2-1+\dfrac{2}{x_2^2}\right)\).
Chứng minh tương tự...
Do đó \(VT\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x_1^2+x_2^2++...+x_n^2+\dfrac{2}{x_1^2}+\dfrac{2}{x_2^2}+...+\dfrac{2}{x_n^2}-n\right)\).
Mặt khác với mọi \(i\in\overline{1,n}\) ta có:
\(x_i^2+\dfrac{2}{x_i^2}-3=\dfrac{\left(x_i^2-1\right)\left(x_i^2-2\right)}{x_i^2}\le0\).
Do đó \(VT\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x_1^2+x_2^2++...+x_n^2+\dfrac{2}{x_1^2}+\dfrac{2}{x_2^2}+...+\dfrac{2}{x_n^2}-n\right)\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(3n-n\right)=\dfrac{n\sqrt{2}}{2}=VP\left(đpcm\right)\).
2. Cho n số \(x_1;x_2;x_3;...;x_n\) mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1.CMR nếu \(x_1\cdot x_2+x_2\cdot x_3+...+x_n\cdot x_1=0\)thì n chia hết cho 4
#)Giải :
Từ giả thiết ta suy ra được các tích x1.x2+x2.x3+...+xn.x1 chỉ nhận 1 trong 2 giá trị là 1 và (-1)
Mà x1.x2+x2.x3+...+xn.x1 = 0 => n = 2m
Đồng thời có m số hạng = 1, m số hạng = -1
Ta nhận thấy (x1x2)+(x2x3)...(xnx1) = x21.x22.....x2n = 1
=> Số các số hạng = -1 phải là số chẵn => m = 2k
=> n = 4k => n chia hết cho 4
cho các số thực dương x1>(=)x2>(=)x3>(=)...>(=)xn
chứng minh rằng:
\(\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_2+x_3}{2}+...+\frac{x_n+x_1}{2}\le\frac{x_1+x_2+x_3}{3}+\frac{x_2+x_3+x_4}{3}+...+\frac{x_n+x_1+x_2}{3}\)
Nhìn nó tưởng khủng hóa ra đơn giản lắm :D
Sẵn mẫu = 2 ở Vế trái, ta cộng luôn các Tử: Các hạng tử x1; x2; ...; xn xuất hiện 2 lần nên tổng VT = x1 + x2 + ... + xn
Sẵn mẫu = 3 ở Vế ơhair, ta cộng luôn các Tử: Các hạng tử x1; x2; ...; xn xuất hiện 3 lần nên tổng VP = x1 + x2 + ... + xn
=> VT = VP. đpcm
Lão Linh mới xét đến điều kiện dấu "=" xảy ra
Thế còn điều kiện "<" vứt đâu?
nếu nó mà dễ thế thì mình đã ko hỏi rồi,linh à
Tìm các số \(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n\), biết rằng:
\(\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=\frac{x_3}{a_3}=....=\frac{x_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{x_n}{a_n}\)và \(x_1+x_2+x_3+...+x_n=c\)
\(\left(a_1\ne0,a_2\ne0,....,a_n\ne0,a_1+a_2+....+a_n\ne0\right)\)
Ta có:
\(\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=...=\frac{x_n}{a_n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{a_1+a_2+...+a_n}_n=\frac{c}{a_1+a_2+...+a_n}\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{a_1.c}{a_1+a_2+...+a_n}\) các x còn lại tương tự
Chứng minh rằng với các số thực dương \(x_1,x_2,...,x_n\)ta có:
\(\frac{x_1}{x_2+x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_1}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+...+\frac{x_n}{x_{n-1}+x_1}\ge2,\forall n\ge4\).
P/s: chứng minh bằng quy nạp
Với \(n=4\) bđt \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1}{x_4+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+\frac{x_4}{x_3+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1^2}{x_4x_1+x_1x_2}+\frac{x_2^2}{x_1x_2+x_2x_3}+\frac{x_3^2}{x_2x_3+x_3x_4}+\frac{x_4^2}{x_3x_4+x_4x_1}\ge2\) (1)
\(VT_{\left(1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2.\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{4}}=2\)
Giả sử bđt đúng đến n=k hay \(\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}\ge2-\frac{x_1}{x_k+x_2}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\)
Với n=k+1, cần cm \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge2\)
hay \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}-\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge0\) (2)
giả sử \(x_k=max\left\{a_1;a_2;...;a_{k+1}\right\}\)
\(VT_{\left(2\right)}=\frac{x_1\left(x_k-x_{k+1}\right)}{\left(x_k+x_2\right)\left(x_{k+1}+x_2\right)}+\frac{x_k\left(x_1-x_{k+1}\right)}{\left(x_{k-1}+x_1\right)\left(x_{k-1}+x_{k+1}\right)}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}>0\)
nhầm, chỗ giả sử là \(x_{k+1}=min\left\{x_1;x_2;...;x_{k+1}\right\}\)
cho các số thực dương x1>(=)x2>(=)x3>(=)...>(=)xn
chứng minh rằng:
\(\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_2+x_3}{2}+...+\frac{x_n+x_1}{2}\le\frac{x_1+x_2+x_3}{3}+\frac{x_2+x_3+x_4}{3}+...+\frac{x_n+x_1+x_2}{3}\)
Câu hỏi của Nguyễn Thiều Công Thành - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Viết chương trình tính trung bình cộng n số thực \(x_1,x_2,x_3,...,x_n\) (các số n và\(x_1,x_2,x_3,...,x_n\) được nhập vào từ bàn phím). Sử dụng lệnh For...do.
Program HOC24;
var i,n: integer;
x: array[1..1000] of real;
tbc: real;
begin
write('Nhap n: '); readln(n);
for i:=1 to n do
begin
write('x[',i,']='); readln(x[i]);
end;
tbc:=0;
for i:=1 to n do tbc:=tbc+x[i];
tbc:=tbc/n;
write('Trung binh cong la: ',tbc:6:2);
readln
end.
Cho n số:\(x_1;x_2;x_3;........;x_n\)với \(x_k=1\)hoặc -1 (k=1;2;3;.....;n)
CMR:\(x_1.x_2+x_2.x_3+......+x_{n-1}.x_n=0\)thì n chia hết cho 4