Lời giải:

Theo định lý về tổng 3 góc trong tam giác:

$\widehat{M}+\widehat{N}=180^0-\widehat{P}=180^0-40^0=140^0$

Thay $\widehat{M}=\frac{1}{2}\widehat{N}$ vô thì:

$\frac{1}{2}\widehat{N}+\widehat{N}=140^0$

$\frac{3}{2}\widehat{N}=140^0$

$\Rightarrow \widehat{N}=\frac{280^0}{3}$

$\widehat{M}=\frac{1}{2}\widehat{N}=\frac{140^0}{3}$

Tam giác MNP có:

NP² = MN² + MP² (5² = 3² + 4²)

=> tam giác MNP vuông tại M (định lý Pytago đảo) có MI là đường trung tuyến.

=> MI = NP/2

mà IP = NP/2 (I là trung điểm của NP)

=> MI = IP

=> Tam giác IMP cân tại I

=> IMP = IPM

Tam giác MNP vuông tại M có:

MNP + MPN = 90⁰

50⁰ + MPN = 90⁰

MPN = 90⁰ - 50⁰

MPN = 40⁰

Tam giác IMP có:

MIP + IMP + IPM = 180⁰

MIP + IPM + IPM = 180⁰

MIP + 2 . IPM = 180⁰

MIP + 2 . 40⁰ = 180⁰

MIP + 80⁰ = 180⁰

MIP = 180⁰ - 80⁰

MIP = 100⁰

C=70^o

a,\(MH\perp NP=>\angle\left(MHN\right)=\angle\left(MHP\right)=90^O\)(1)

có \(\left\{{}\begin{matrix}\angle\left(HMN\right)+\angle\left(MNH\right)=90^o\\\angle\left(HPM\right)+\angle\left(MNH\right)=90^O\end{matrix}\right.\)

\(=>\angle\left(HMN\right)=\angle\left(HPM\right)\left(2\right)\)

(1)(2)\(=>\Delta HMN\sim\Delta HPM\left(g.g\right)\)

b, đề sai ko có điểm C

đâu ra HC vậy ???

b) Vì △HMN ∼ △HPM( câu a) nên

\(\dfrac{NH}{HM}=\dfrac{MH}{HP}\Rightarrow NH\times HP=HM\times HM\Rightarrow3\times6=MH^2=18\Rightarrow MH=3\sqrt{2}\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong △HPM vuông tại H ta có:

MP²=HP²+HM²

⇒MP²=6²+(3√2)²=54⇒MP=3√6 (cm)

 Áp dụng định lí Pi-ta-go trong △MNP vuông tại M ta có:

NP²=MN²+MP²⇒MN²=NP²-MP²=(NH+HP)²-MP²=9²-(3√6)²=27

⇒MN=3√3 (cm)

Vậy MN=3√3 cm, MP=3√6 cm

a) Xét ΔHMN vuông tại H và ΔHPM vuông tại H có 

\(\widehat{HMN}=\widehat{HPM}\left(=90^0-\widehat{N}\right)\)

Do đó: ΔHMN\(\sim\)ΔHPM(g-g)