a)ta có : nếu a= 2/5 thì a=0,4 <=> a+b+c=1 (1)

=> 0,4+b+c=1 => b+c= 0,6 => b=c= 0,3 ( trường hợp b=c) (2)

từ (1) va (2) ta thấy : a\(\ge\)b\(\ge\)c\(\ge\)0 va a+b+c= 1 

vậy a có thể là 2/5 

b) ta có : nếu a=1/5 thì a= 0,2 . vị 0,2>0,1 => b hoặc c bằng 0,1 

nếu b=c thì a+b+c= 0,2+0,1+0,1 = 0,4 \(\ne\) 1

vậy a không thể là 1/5 

c) theo đề bài ta có : vì a là giá trị nhỏ nhất nên a=0,4

thay 0,4 vào đề bài ta có : 0,4+0,3+0,3= 1 ( với b=c=3)

vậy a nhỏ nhất bằng 0,4 

d) theo đề bài ta có :  vì a là giá trị lớn nhất nên a=1 

thay 1 vào đề bài ta có : 1+0+0= 1 ( voi b=c=1 )

vậy a lớn nhất bằng 1

Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)

CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2bc+2ac}\)

Mặt khác : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2bc+2ac}\ge\frac{3}{2}\)

Dự đoán \(MinL=\frac{3}{2}\)khi a = b = c

Ta cần chứng minh \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)+\left(c-a\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\frac{a-b}{2\left(b+c\right)}-\frac{c-a}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)-\frac{c-a}{2}\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}.\frac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}-\frac{c-a}{2}.\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)(đúng do \(a\ge b\ge c>0\))

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c