Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Hiếu Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
1 tháng 3 2022 lúc 17:43

Với các số dương x;y ta có:

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng:

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{a}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)

Trâm Quỳnh
Xem chi tiết
Nguyễn Tiến Thành
Xem chi tiết
Loser
7 tháng 9 2023 lúc 22:52

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với �,�>0 thì �2+�4≥��(�2+�2)

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: (�−�)2(�2+��+�2)≥0 (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

⇒��4+�4+�≤���(�2+�2)+�2��=���(�2+�2+�2)=�2�2+�2+�2

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

⇒�≤�2+�2+�2�2+�2+�2=1 (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Loser
7 tháng 9 2023 lúc 22:55

loading...

Nó bị mất cái dấu gạch ngang chỗ phân số nha b

Loser
7 tháng 9 2023 lúc 22:55

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với �,�>0 thì �2+�4≥��(�2+�2)

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: (�−�)2(�2+��+�2)≥0 (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

⇒��4+�4+�≤���(�2+�2)+�2��=���(�2+�2+�2)=�2�2+�2+�2

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

⇒�≤�2+�2+�2�2+�2+�2=1 (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bảo Khang Trần
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Tú
25 tháng 1 2022 lúc 9:11

Theo BĐT Cauchy Schwarz 

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1/3 

Anh Mai Quốc
Xem chi tiết
Thanh Tùng DZ
30 tháng 4 2019 lúc 15:48

lớn nhất hay nhỏ nhất thế bạn

Anh Mai Quốc
1 tháng 5 2019 lúc 9:32

lớn nhất

Hạ Tuyết
Xem chi tiết
dekhisuki
Xem chi tiết
Tran Le Khanh Linh
28 tháng 4 2020 lúc 6:09

Đặt \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\)khi đó ta được xyz=1 và biểu thức P viết được thành

\(P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2x^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)

Ta có \(x^2+y^2\ge2xy;y^2+1\ge2y\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\)

Do đó ta được \(\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{xy+y+1}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{1}{y^2+2z^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{yz+z+1};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{zx+z+1}\)

Cộng các vế BĐT trên ta được

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

Do xyz=1 nên ta được

\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{zx}{z+1+zx}+\frac{x}{1+zx+z}+\frac{1}{zx+x+1}=1\)

Từ đó ta được

\(P\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Khách vãng lai đã xóa
Kiều_My
Xem chi tiết
Cố Tử Thần
31 tháng 5 2019 lúc 11:22

sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxky  cho 3 số ko âm, ta có:

P>= ( a+b+c)^2/ 2( a+b+c)=1^2/2*1=1/2

vậy min P= 1/2 tại a=b=c=1/3

hok tốt

Trần Thanh Phương
31 tháng 5 2019 lúc 14:31

@♡♡♡Cố Tử Thần♡♡♡ phải là áp dụng Bunhia dạng phân thức mới chính xác

Áp dụng bdtd Cauchy-Schwarz dạng phân thức :

\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Kiều_My
31 tháng 5 2019 lúc 14:39

Đề là tìm giá trị LỚN nhất

duy.
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 4 2022 lúc 0:13

\(A=\sqrt{2b\left(a+1\right)}+\sqrt{2c\left(b+1\right)}+\sqrt{2a\left(c+1\right)}\)

\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4b\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4c\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4a\left(c+1\right)}\)

\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4b+a+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4c+b+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4a+c+1\right)\)

\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)