Question

cho 3 số a,b,c là số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTLN của bt;

Q=\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

Answer 1

+ Theo bđt Cauchy :

\(\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{2}{3}}\le\frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a+b=\frac{2}{3}\)

\(\sqrt{\left(b+c\right)\cdot\frac{2}{3}}\le\frac{b+c+\frac{2}{3}}{2}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow b+c=\frac{2}{3}\)

\(\sqrt{\left(c+a\right)\cdot\frac{2}{3}}\le\frac{c+a+\frac{2}{3}}{2}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow c+a=\frac{2}{3}\)

Do đó : \(\sqrt{\frac{2}{3}}Q\le\frac{2\left(a+b+c\right)+2}{2}=2\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{6}\)

"=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)