Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phan thị minh anh

cho 3 số thực dương thỏa mãn : abc+a+b=3ab . c/m :

\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{a}{ac+a+1}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+b+1}}\ge\sqrt{3}\)

Lightning Farron
11 tháng 4 2017 lúc 22:46

Từ \(abc+a+b=3ab\Leftrightarrow c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\left(x;y>0\right)\Rightarrow c+x+y=3\)

BĐT cần chứng minh là:

\(\sqrt{\dfrac{1}{x+y+xy}}+\sqrt{\dfrac{1}{y+a+ay}}+\sqrt{\dfrac{1}{x+a+ax}}\ge\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT\ge3\sqrt[6]{\dfrac{1}{\left(x+y+xy\right)\left(x+a+ax\right)\left(a+y+ay\right)}}\ge\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow (x+y+xy)(x+a+ax)(a+y+ay)\leq \frac{1}{27}\)

BĐT này luôn đúng vì ta có 2 BĐT phụ sau luôn đúng theo AM-GM \(mnp\le\left(\dfrac{m+n+p}{3}\right)^3;mn+np+mp\le\dfrac{\left(m+n+p\right)^2}{3}\)

Ok. Done ! :dreamer:


Các câu hỏi tương tự
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Sóc nâu
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Hoang Hung Quan
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Lê Huy Minh
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Yến Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết