ư365jn5yb

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án A

Gọi x 1 ,   x 2 là nghiệm của phương trình x 2 - 2 m x + 1 = 0 . Khi đó  x 1 + x 2 = 2 m x 1 . x 2 = 1

Gọi  x 3 ,   x 4  là nghiệm của phương trình  x 2 - 2 m x + 1 = 0 . Khi đó  x 3 + x 4 = 2 x 3 . x 4 = m

Ta có:  x 1 = 1 x 3 x 2 = 1 x 4 ⇒ x 1 + x 2 = 1 x 3 + 1 x 4 x 1 . x 2 = 1 x 3 . x 4

⇒ x 1 + x 2 = x 3 + x 4 x 3 . x 4 x 1 . x 2 = 1 x 3 . x 4 ⇔ 2 m = 2 m 1 = 1 m ⇔ m = 1

Đáp án cần chọn là: C

a) Xét pt đã cho có \(a=m^2+m+1\); \(b=-\left(m^2+2m+2\right)\); \(c=-1\)

Nhận thấy rằng \(ac=\left(m^2+m+1\right)\left(-1\right)=-\left(m^2+m+1\right)\)

\(=-\left(m^2+2m.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)=-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\)

Vì \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\) và \(-\dfrac{3}{4}< 0\) nên \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}< 0\) hay \(ac< 0\). Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu.

b) Theo câu a, ta đã chứng minh được pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\left(m^2+2m+2\right)}{m^2+m+1}=\dfrac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}\)

Nhận thấy \(m^2+m+1\ne0\) nên ta có:

\(\left(m^2+m+1\right)S=m^2+2m+2\) \(\Leftrightarrow Sm^2+Sm+S-m^2-2m-2=0\)\(\Leftrightarrow\left(S-1\right)m^2+\left(S-2\right)m+\left(S-2\right)=0\)(*)

pt (*) có \(\Delta=\left(S-2\right)^2-4\left(S-1\right)\left(S-2\right)\)\(=S^2-4S+4-4\left(S^2-3S+2\right)\)\(=S^2-4S+4-4S^2+12S-8\)\(=-3S^2+8S-4\)

Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\) hay \(-3S^2+8S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S^2+6S+2S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S\left(S-2\right)+2\left(S-2\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(S-2\right)\left(2-3S\right)\ge0\)

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\ge0\\2-3S\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\ge2\\S\le\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\le0\\2-3S\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\le2\\S\ge\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\le S\le2\) (nhận)

Khi \(S=\dfrac{2}{3}\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{3}-1\right)m^2+\left(\dfrac{2}{3}-2\right)m+\dfrac{2}{3}-2=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}m^2-\dfrac{4}{3}m-\dfrac{4}{3}=0\)\(\Leftrightarrow m^2+4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow m+2=0\) \(\Leftrightarrow m=-2\)

Khi \(S=2\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(2-1\right)m^2+\left(2-2\right)m+2-2=0\)\(\Leftrightarrow m^2=0\)

  \(\Leftrightarrow m=0\)

Vậy GTNN của S là \(\dfrac{2}{3}\) khi \(m=-2\) và GTLN của S là \(2\) khi \(m=0\)