Đáp án :180 cm² 

Vì AM = 2/3 AB và AN = 2/3 AC nên S_AMN = 2/3 A_ABC 

Suy ra diện tích tam giác ABC sẽ là 180 cm²

trả tôi cái tick

tôi sẽ nhắc cho!

.......?????? Đài phát thanh ?

chào bạn!! :v

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

\(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^0)\)

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A)

=>\(\Delta BAM = \Delta CAN\)(g.c.g)

b) Cách 1: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {AMB} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)

Xét tam giác MAC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow {120^o} + \widehat {MAC} + {30^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {MAC} = {30^o} = \widehat C\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Tam giác AMC cân tại M.

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\)

=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

=> BM+MN=CN+NM

=> BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

\(AN = AM\)(do \(\Delta BAM = \Delta CAN\))

BN=MC (cmt)

=>\(\Delta ANB = \Delta AMC\)(c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M.

=> Tam giác ANB cân tại N.

Cách 2: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\)

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

=> \(\widehat {NAM}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\)

=> \(\widehat{BAN} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{BAN}=30^0\)

Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^0\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N.

Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\)

=> \(\widehat{CAM} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{CAM}=30^0\)

Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^0\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.

opend up

a) Xét ΔABF và ΔCNF có:

       AF = CF (F là trung điểm của AC)

        ∠AFB = CFN (2 góc đối đỉnh)

        FB = FN (gt)

⇒ ΔABF = ΔCNF (c.g.c)

⇒ ∠ABF = ∠CNF (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong  ⇒ AB // NC

Xét ΔACE và ΔBME có:

      AE = BE (E là trung điểm của AB)

      ∠AEC = ∠BEM (2 góc đối đỉnh)

       EC = EM (gt)

⇒ ΔACE = ΔBME (c.g.c)

⇒ ∠ACE = ∠BME (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong  ⇒ AC // MB

b) Xét ΔANF và ΔCBF có:

        AF = CF (F là trung điểm của AC)

        ∠AFN = ∠CFB (2 góc đối đỉnh)

         FN = FB (gt)

⇒ ΔANF = ΔCBF (c.g.c)

⇒ ∠ANF = ∠CBF (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ AN // BC (1)

Xét ΔAME và ΔBCE có:

      AE = BE (E là trung điểm của AB)

      ∠AEM = ∠BEC (2 góc đối đỉnh)

       EM = EC (gt)

⇒ ΔAME = ΔBCE (c.g.c)

⇒ ∠AME = ∠BCE (2 góc tương ứng)

mà 2 góc ở vị trí so le trong ⇒ AM // BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 3 điểm M, A, N thẳng hàng

c) Ta có: ΔANF = ΔCBF (theo b)

⇒ AN = BC (2 cạnh tương ứng) (3)

Ta có: ΔAME = ΔBCE (theo b)

⇒ AM = BC (2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ AM = AN