cho tam giác ABC \(\left(\widehat{BAC}< 90^O\right)\), đường cao AH . Gọi E , F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB , AC , đường thẳng E cắt AB,AC lần lượt tại M,N. CHỨNG MINH :
a, AE=AF
b,HA là phân giác của góc MHN
c, CM // EH , BN // FH
Cho tam giác ABC ( \(\widehat{BAC}\)\(< 90^o\)), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a. AE = AF;
b. HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)
c. CM // EH; BN // FH
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B. Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho HE = 2HA. CMR: \(\widehat{DEC=90^o}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho \(\widehat{DHE}=90^o\). Tìm vị trí của D, E để DE có độ dài nhỏ nhất
1. Cho tam giác ABC có \(\widehat{C}< \widehat{B}< 90^o\). Vẽ đường phân giác AD và đường cao AH của tam giác ABC. CMR: \(\widehat{DAH}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}\right)\)
cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AH kéo dài cắt đường tròn (O;R) tại D:
a, Chứng minh rằng\(\widehat{BAH}=\widehat{CAO}\)
b, Giả sử AH=R. Chứng minh rằng: \(\widehat{BAC}=60^o\)
c, Tính tổng: \(^{AB^2+BD^2+DC^2+CA^2}\)theo R
Trên một nửa mặt phẳng bờ AB dựng tam giác cân ABC tại A có \(\widehat{BAC=40^o}\)và tam giác đều ABK. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC Lấy E,F lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng AH,AC sao cho \(\widehat{ABE}=\widehat{FBC}=30^o\)
a, Chứng minh FK là trung trực AB
b, Chứng minh AE=AF
cho tam giác ABC vuông ở A. đường cao AH. gọi I, K thứ tự là trung điểm của AB, AC. chứng minh \(\widehat{IMK}\)= 90O
Bạn ơi đề phải là cm góc IHK = 90 độ
Xét tam giác BHA vuông tại H có HI là trung tuyến => HI = 1/2BH = IA => tam giác HIA cân tại I => góc IHA = góc IAH
Tương tự: góc KHA = góc KAH
=> góc IHK = góc IHA + góc KHA = góc IAH + góc KAH = góc BCA = 90 độ
=> ĐPCM
1.Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}>90^o\). Vẽ đường phân giác AD và đường cao AH của tam giác ABC. CMR:
a) \(_{2\widehat{HAD}=\widehat{HAB}+\widehat{HAC}}\)
b) \(\widehat{ABC}=90^o+\widehat{HAB}\) và \(\widehat{ACB}=90^o-\widehat{HAC}\)
c)\(\widehat{DAH}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}-\widehat{ACB}\right)\)
Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC> góc ACB. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,N,E. Gọi K là giao điểm của BO và NE. Chứng minh
a) \(\widehat{AOB}=90^{\sigma}+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)
b) 5 điểm A, M, K, O, E cùng thuộc một đường tròn
c Gọi T là giao điểm BO với AC. Chứng minh: KT.BN = KB.ET
a) Có ^AOB = 1800 - ^OAB - ^OBA = 1800 - ^BAC/2 - ^ABC/2 = 900 + (1800 - ^BAC - ^ABC)/2 = 900 + ^ACB/2
b) Dễ thấy A,M,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA (Vì ^AMO = ^AEO = 900) (1)
Ta có ^AOK = 1800 - ^AOB = 1800 - (900 + ^ABC/2) = 900 - ^ACB/2 = ^CEN (Do \(\Delta\)CEN cân tại C)
=> Tứ giác AOKE nội tiếp hay A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A,M,K,O,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
c) Ta thấy A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (cmt) và OK cắt AE tại T
Nên \(\frac{KT}{ET}=\frac{AT}{OT}\)(Hệ thức lượng đường tròn). Kết hợp \(\frac{AT}{OT}=\frac{AB}{OB}\)(AO là phân giác ^BAT)
Suy ra \(\frac{KT}{ET}=\frac{AB}{OB}\). Mặt khác: ^BKN = ^OAE = ^BAO và ^NBK = ^OBA => \(\Delta\)BKN ~ \(\Delta\)BAO (g.g)
=> \(\frac{AB}{OB}=\frac{KB}{NB}\). Từ đây \(\frac{KT}{ET}=\frac{KB}{BN}\)=> KT.BN = KB.ET (đpcm).
