a, Xét Δ AHC vuông tại H, có :

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

=> \(AB^2=12^2+9^2\)

=> \(AB^2=225\)

=> AB = 15 (cm)

Xét Δ AHC vuông tại H, có :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

=> \(AC^2=12^2+16^2\)

=> \(AC^2=400\)

=> AC = 20 (cm)

Xét Δ ABC, có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go đảo)

=> Δ ABC vuông tại A

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=5,4\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)

c) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

AD là trung tuyến

\(\Rightarrow AD=BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.15=7,5\left(cm\right)\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL tam giác:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=BH\cdot HC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{144}{15}=9,6\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{81}{15}=5,4\left(cm\right)\\AH=\sqrt{9,6\cdot5,4}=7,2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔACB vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=15(cm)

Xét ΔACB vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=7.2\left(cm\right)\\BH=9.6\left(cm\right)\\CH=5.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: AB<AC<BC
=>góc C<góc B<góc A

b: Xet ΔABC có

BC^2=AB^2+AC^2

=>ΔBCA vuông tại A

Xet ΔCAB vuông tại A và ΔCAD vuông tại A có

CA chung

AB=AD

=>ΔCAB=ΔCAD

c: Xét ΔCBD có

CA,BE là trung tuyến

CA cắt BE tại I

=>I là trọng tâm

=>DI đi qua trung điểm của BC

Chọn C

a, Xét ΔABC có AB=9cm, AC=12cm, ∠A=90độ 

Áp dụng định lý Py-ta-go:

BC²=AB²+AC²

→BC²=9²+12²

→BC²=225

→BC=15CM

b, Xét ΔABD và ΔEBD có:

∠ABD=∠EBD     (BD là tia phân giác)

BD-chung

∠BAD=∠BED=90 độ

→ΔABD=ΔEBD      (g.c.g)

→AD=ED              (cặp góc tương ứng)

→ΔDEA cân

c, Xét ΔDEC có ∠DEC= 90 độ và DC là cạnh huyền

mà trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất

nên DC>DE

mà DE=DA

suy ra DC>DA

d, Gọi K là giao điểm của AB và CF

Xét ΔBCK có:  BF và CA là hai đường cao 

và BF∩CA≡D

Mà DE⊥BC→DE∈đường cao từ K

→K,D,E thẳng hàng

→ AB,BE,CF đồng quy

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=15^2-9^2=144\)

hay AC=12(cm)

Xét ΔABC có AB<AC(9cm<12cm)

mà hình chiếu của AB trên BC là DB

và hình chiếu của AC trên BC là DC

nên BD<DC

b) Xét ΔADB vuông tại D và ΔADN vuông tại D có 

DB=DN(gt)

AD chung

Do đó: ΔADB=ΔADN(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AB=AN(Hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABN có AB=AN(cmt)

nên ΔABN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

c) Xét ΔANB có 

BE là đường cao ứng với cạnh AN(gt)

AD là đường cao ứng với cạnh NB(Gt)

BE cắt AD tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔANB(Tính chất ba đường cao của tam giác)

Suy ra: NH\(\perp\)AB(Đpcm)