1, Gọi tọa độ điểm D(x;y)

Ta có:\(\overrightarrow{AB}\left(8;1\right)\)

\(\overrightarrow{DC}\left(1-x;5-y\right)\)

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow1-x=8;5-y=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-7\\y=4\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ điểm D(-7;4)

Chọn A.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC.

B(4;5), C(-3;2) 

Phương trình đường cao AH đi qua A(2;-1) nhận  là VTPT là:

7.(x - 2) + 3.(y + 1) = 0 ⇔ 7x - 14 + 3y + 3 = 0 ⇔ 7x + 3y - 11 = 0

Vậy phương trình đường cao AH là 7x + 3y - 11 = 0.

vecto AH=(x+2;y-4); vecto BC=(-6;-2)

vecto BH=(x-4;y-1); vecto AC=(0;-5)

Theo đề, ta có: -6(x+2)-2(y-4)=0 và 0(x-4)-5(y-1)=0

=>y=1 và -6(x+2)=2(y-4)=2*(1-4)=-6

=>x+2=1 và y=1

=>x=-1 và y=1

\(AB=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(-3+1\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(AC=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(1+1\right)^2}=\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{\left(0-5\right)^2+\left(1+3\right)^2}=\sqrt{29}\)

=>C=3 căn 5+căn 29

Có vô số điểm C thỏa mãn, chỉ cần tọa độ C có dạng \(\left(-1;c\right)\) với c là 1 số khác 0 bất kì

\(AB=\sqrt{\left(0+1\right)^2+\left(2+3\right)^2}=\sqrt{26}\)

\(AC=\sqrt{\left(2+1\right)^2+\left(1+3\right)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(BC=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{5}\)

=>\(C=\sqrt{26}+5+\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\Rightarrow AB=\sqrt{5}\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;2\right)\Rightarrow AC=2\sqrt{2}\)

\(BC=\left(-3;4\right)\Rightarrow BC=5\)

Chu vi tam giác ABC: \(AB+AC+BC=\sqrt{5}+2\sqrt{2}+5\)

1/ Hướng làm như sau:

- Ta sẽ viết phương trình đường thẳng của 2 cạnh AB và AC trước

- Lấy một điểm bất kỳ thuộc đường phân giác trong của góc A. Vì điểm nằm trên đường phân giác cách đều 2 tia tạo thành góc đó nên ta sẽ tính khoảng cách giữa điểm đó với 2 cạnh của tam giác rồi cho chúng bằng nhau

\(\overrightarrow{AB}=\left(1-\frac{7}{4};2-3\right)=\left(-\frac{3}{4};-1\right)\Rightarrow AB:\left(x-1\right)-\frac{3}{4}\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow AB:x-\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-4-\frac{7}{4};3-3\right)=\left(-\frac{23}{4};0\right)\) \(\Rightarrow AC:\frac{23}{4}\left(y-3\right)=0\Rightarrow AC:\frac{23}{4}y-\frac{69}{4}=0\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm thuộc đường phân giác góc A và nằm trên BC

\(\Rightarrow d\left(M;AB\right)=\frac{\left|1.x_M-\frac{3}{4}y_M+\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=...\)

\(\Rightarrow d\left(M;AC\right)=\frac{\left|0.x_M+\frac{23}{4}.y_M-\frac{69}{4}\right|}{\sqrt{0+\left(\frac{23}{4}\right)^2}}=...\)

\(d\left(M;AB\right)=d\left(M;AC\right)\Leftrightarrow\frac{\left|x_M-\frac{3}{4}y_M+\frac{1}{2}\right|}{\frac{5}{4}}=\frac{\left|\frac{23}{4}y_M-\frac{69}{4}\right|}{\frac{23}{4}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}23\left(x_M-\frac{3}{4}y_M+\frac{1}{2}\right)=5\left(\frac{23}{4}y_M-\frac{69}{4}\right)\\23\left(x_M-\frac{3}{4}y_M+\frac{1}{2}\right)=5\left(\frac{69}{4}-\frac{23}{4}y_M\right)\end{matrix}\right.\)

Đến đây ta thấy vẫn còn 2 ẩn là x_M và y_M. Mà \(M\in BC\) nên ta sẽ sử dụng phương trình đường thẳng BC để đưa về một ẩn

\(\overrightarrow{BC}=\left(-4-1;3-2\right)=\left(-5;1\right)\) \(\Rightarrow BC:-5\left(x-1\right)+\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow BC:-5x+y+3=0\) \(\Rightarrow y_M=5x_M-3\)

Đến đây thay vô là được thôi bạn :) Có 2 trường hợp đó, một cái là điểm M nằm trong, dành cho phân giác trong và ngược lại.

Và làm thế nào để biết được đâu là trong đâu là ngoài? Đơn giản thôi, ta thấy điểm M thuộc BC, sẽ có \(\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{MC}\)

Nếu x>0 nghĩa là M nằm trên đoạn BC còn nếu <0 nghĩa là nằm ngoài BC. Câu 2 tương tự nhé :3

P/s: Tính toán lại hộ mình nhé :<< Nhiều số quá rối hết cả mắt :<<

Câu 1 có 1 cách giải đơn giản ngắn gọn:

- Tính vecto \(\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\Rightarrow\) độ dài AB;AC;BC

- Gọi D là chân đường phân giác trong của A trên BC

- Theo định lý phân giác: \(\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow\) tỉ lệ \(\frac{BD}{DC}\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ D (điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k)

\(\Rightarrow\) Phương trình AD

Câu 2

Làm tương tự, sau khi tìm được tọa độ chân đường phân giác trong \(\Rightarrow\) tính được vecto \(\overrightarrow{AD}\)

Do 2 đường phân giác trong và ngoài vuông góc nên đường phân giác ngoài nhận \(\overrightarrow{AD}\) là 1 vtpt. Vậy là viết được pt phân giác ngoài

Tất cả các điểm C có tọa độ dạng \(C\left(2;k\right)\) với k là số thực khác 0 đều thỏa mãn tam giác ABC cân tại C