a)
Có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)=> \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b}{c^3}^3=\frac{c^3}{d^3}\)1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)2
từ 1 => \(\frac{a^3}{b^3}=\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\)3
Từ 2 và 3

=> \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)

b) \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{b+a}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+b+a}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
=> \(x=\frac{1}{2}\)

c) có vấn đề về đề bài bạn nhế

NHỚ KICK MÌNH NHÉ><

a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bạn chỉ cần bình phương PT x/a + y/b + z/c 

và chỉ ra ayz + bxz + cxy = 0 ở PT 2 là xong 

:D 

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^2=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1-2\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1-2\cdot0=1(đpcm)\)

ĐKXĐ : a;b;c>0;a≠−(b+c);b≠−(c+a);c≠−(a+b)a;b;c≠0;a≠−(b+c);b≠−(c+a);c≠−(a+b)

a+b−xc+b+c−xa+c+a−xb+4xa+b+c=1a+b−xc+b+c−xa+c+a−xb+4xa+b+c=1

⇔(a+b−xc+1)+(b+c−xa+1)+(c+a−xb+1)+4xa+b+c−3−1=0⇔(a+b−xc+1)+(b+c−xa+1)+(c+a−xb+1)+4xa+b+c−3−1=0

⇔a+b+c−xc+a+b+c−xa+a+b+c−xb+4xa+b+c−4=0⇔a+b+c−xc+a+b+c−xa+a+b+c−xb+4xa+b+c−4=0

⇔(a+b+c−x)(1a+1b+1c)+4(x−a−b−c)a+b+c=0⇔(a+b+c−x)(1a+1b+1c)+4(x−a−b−c)a+b+c=0

⇔(a+b+c−x)(1a+1b+1c−4a+b+c)=0⇔(a+b+c−x)(1a+1b+1c−4a+b+c)=0

Do 1a+1b+1c−4a+b+c≠01a+1b+1c−4a+b+c≠0

⇒a+b+c−x=0⇔x=a+b+c⇒a+b+c−x=0⇔x=a+b+c

Vậy ...

Ta có pt : \(\frac{a+b-x}{c}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{c+a-x}{b}+\frac{4x}{a+b+c}=1\) (1)

( ĐK: Do bài cho a,b,c > 0 rồi nên không cần nhé bạn )

Pt (1) \(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b-x}{c}+1\right)+\left(\frac{b+c-x}{a}+1\right)+\left(\frac{c+a-x}{b}+1\right)+\left(\frac{4x}{a+b+c}-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c-x}{c}+\frac{a+b+c-x}{a}+\frac{a+b+c-x}{b}-\frac{4\left(a+b+c-x\right)}{a+b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-x\right)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b+c}\right)=0\)

Do : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\ne0\forall a,b,c>0\)

Nên : \(a+b+c-x=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=x\)

Vậy : pt (1) có tập nghiệm \(S=\left\{a+b+c\right\}\)

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\) ; \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

a. \(\)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương \(\frac{xy}{z}\) và \(\frac{yz}{x}\), ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\) (1)

Hoàn toàn tương tự: \(\)

\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\) và \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm