Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của CC'. Khoảng cách B'M và C'D' bằng:
\(\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\) \(\dfrac{a}{5}\) \(a\sqrt{5}\) \(a\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải:
Gọi M' là trung điểm DD'. Có MM' // C'D' nên MM' // A'B'. Vì vậy \(M'\subset mp\left(A'B'M\right)\).
D'C' // mp(A'B'MM') nên d(B'M ; D'C') = d(mp(A'B'MM') ; D'C').
Trong mp(ADD'A') kẻ \(D'H\perp A'M'\).
Có \(\left\{{}\begin{matrix}D'H\perp A'B'\\D'H\perp A'M'\end{matrix}\right.\) nên \(D'H\perp mp\left(A'B'C'D'\right)\).
Vậy \(d\left(mp\left(A'B'MM'\right);D'C'\right)=D'H\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(\dfrac{1}{D'H^2}=\dfrac{1}{A'D'^2}+\dfrac{1}{D'M'^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{5}{a^2}\).
Suy ra \(D'H=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\).