Bài 1 :
Theo bài ra :
\(a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{144}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{12}\)
\(\Rightarrow a.\dfrac{1}{12}=\dfrac{-1}{24}\Rightarrow a=\dfrac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow b.\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{16}\Rightarrow b=\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow c.\dfrac{1}{12}=\dfrac{-1}{72}\Rightarrow c=\dfrac{-1}{6}\)
Vậy \(a;b;c=\left\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4};-\dfrac{1}{6}\right\}\)
Bài 2 :
Ta có : \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{b^2-c^2}{a^2+3}+\dfrac{c^2-a^2}{b^2+4}+\dfrac{a^2-b^2}{c^2+5}\)
\(\Leftrightarrow a^2-\dfrac{a^2-b^2}{c^2+5}+b^2-\dfrac{b^2-c^2}{a^2+3}+c^2-\dfrac{c^2-a^2}{b^2+4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2.c^2+4a^2+b^2}{c^2+5}+\dfrac{b^2.a^2+2b^2+c^2}{a^2+2}+\dfrac{c^2.b^2+3c^2+a^2}{b^2+4}=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=0\)
Mà \(a^2\ge0;b^2\ge0;c^2\ge0\)
Vậy để thoả mãn \(a=b=c=0\)
Khi đó \(2012ab+2013c=0\)
b, Theo bài ra ta có :
\(\dfrac{x-y}{z}=\dfrac{3y}{x-z}\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}{3z}\)( 1 )
Mà : \(\dfrac{3y}{x-z}=\dfrac{x}{y}\) ( 2 )
Thay ( 1 ) vào ( 2 ) ta có :
\(\dfrac{3y}{x-z}=\dfrac{3xz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow3y\left(x-y\right)\left(x-z\right)=3xz\left(x-z\right)\)
\(\Leftrightarrow3y\left(x-y\right)=3xz\Leftrightarrow3xy-3y^2=3xz\Rightarrow xy-y^2=xz\)
Gỉa sử \(x=2y;y=2z\)
Thay vào biểu thức ta có ;
\(2y.y-y^2=\dfrac{y}{2}.2y\)
\(\Rightarrow y^2=y^2\)( 1 )
Mà y là số nguyên dương nên ( 1 ) luôn đúng .
Vậy nếu \(\dfrac{x-y}{z}=\dfrac{3y}{x-z}=\dfrac{x}{y}\) thì \(x=2y;y=2z\) ( đpcm )
Bài 3 :
a, \(A=x^2+10x+36=\left(x+5\right)^2+11\ge11\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 11 với mọi x thuộc Z nên biểu thức A không có nghiệm .
b, Xét từng trường hợp :
*) c < 0 , vế trái là số nguyên .
*) c = 0 .Ta có : \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=8^0+10=11\)
Giai phương trình trên có :
\(a;b=\left\{6;-5\right\},a;b=\left\{6;5\right\},a;b=\left\{-6;5\right\},a;b=\left\{-6;-5\right\}\)
*) c > 0 : Ta có : \(8^c⋮4;10⋮̸\)4 và \(10⋮z\)
Do đó : \(8^c+10⋮̸\) 4 và \(8^c+10⋮2\left(1\right)\)
Mặt khác \(\left(a-b\right)+\left(a+b\right)=2x\) , là số chẵn .
\(\Rightarrow\left(a-b\right),\left(a+b\right)\) cùng tính chẵn , lẻ
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮4\) hoặc \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)\) lẻ
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮4\) hoặc \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮̸\) 2 . ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => không tồn tại số nguyên x ,y , z để có :
\(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=8^c+10\)
Vậy bộ ba số nguyên cần tìm là :\(\left(6;-5;0\right);\left(6;5;0\right);\left(-6;5;0\right);\left(-6;-5;0\right)\)
Bài 4 :
Ta có : AB = AC ( do tam giác ABC cân tại A ) ; MC = MD ( M là trung điểm của CD )
Áp dụng định lý Py- ta -go vào các tam giác vuông ta có :
\(KB^2=KA^2-AB^2=KA^2-AC^2\)
\(=(KE^2+EA^2)-\left(AM^2-MC^2\right)\)
\(=KE^2+EA^2-AM^2+MC^2\)
\(=KD^2-ED^2+AM^2-ME^2-AM^2+MC^2\)
\(=KD^2-\left(ED^2+ME^2\right)+MC^2=KD^2-MD^2=MC^2=KD^2\)
\(\Rightarrow KB^2=KD^2\Rightarrow KB=KD\)=> Tam giác KBD cân tại K ( đpcm ) .
Bài 5 :
Ta có : \(\widehat{MBA}=\widehat{MAC};\widehat{MAC}+\widehat{MAE}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=90^0\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\)
Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống BM, suy ra AM // CG (cùng \(\perp\) BM )
Suy ra : \(\widehat{GCA}=\widehat{MAC}=\widehat{MCB}\Rightarrow\widehat{GCA}+\widehat{MCA}=\widehat{MCB}+\widehat{MCA}\)
\(\Rightarrow\widehat{GCM}=\widehat{ACB}=45^0\)=> Tam giác GCM vuông cân tại G .
\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMG}+\widehat{GMC}=90^0+45^0=135^0\)
\(\Rightarrow\widehat{CMB}=360-\widehat{AMB}-\widehat{AMC}=135^0\)\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{CMB}\)
\(\Rightarrow\Delta AMC\infty\Delta CMB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
=> MA : MC : MB = 1: \(\sqrt{2}\) : 2 .