Bài 1 :\(A=\dfrac{50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}}{100-\dfrac{8}{13}+\dfrac{4}{15}-\dfrac{4}{17}}\)
= \(\dfrac{50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}}{2(50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17})}\)
= \(\dfrac{1}{2}\)
b) \(B=\dfrac{1}{19}+\dfrac{9}{19.29}+\dfrac{9}{29.39}+...+\dfrac{9}{1999.2009}\)
\(=\dfrac{1}{19}+9(\dfrac{1}{19.29}+\dfrac{1}{29.39}+...+\dfrac{1}{1999.2009})\)
Đặt S= \(\dfrac{1}{19.29}+\dfrac{1}{29.39}+...+\dfrac{1}{1999.2009}\)
10S=\(\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{29}+\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{39}+...+\dfrac{1}{1999}-\dfrac{1}{2009}\)
= \(\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{2009}\)
= \(\dfrac{1990}{38171}\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{199}{38171}\)
Khi đó \(B=\dfrac{1}{19}+9.\dfrac{199}{38171}\)
= \(\dfrac{200}{2009}\)
Bài 2 :
a) Theo bài ra : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{3c}=\dfrac{c}{9a}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{3c}\\\dfrac{b}{3c}=\dfrac{c}{9a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{b^2}{3c}\left(1\right)\\\dfrac{b}{3c}=\dfrac{c}{9a}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thay \(a=\dfrac{b^2}{3c}\)
ở (1) vào (2) ta có :
\(\dfrac{b}{3c}=\dfrac{c}{9.\dfrac{b^2}{3c}}\Leftrightarrow\dfrac{b}{3c}=\dfrac{3c^2}{9b^2}\Leftrightarrow9b^3=9c^3\Leftrightarrow b^3=c^3\Rightarrow b=c\) (Điều phải chứng minh)
b) Đặt F = \(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{2013.2015}+\dfrac{1}{2014.2016}\)
2F = \(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2015}+\dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{2016}\)
= \(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}\)
= \(\dfrac{2014}{2015}+\dfrac{1007}{2016}\)
\(\Rightarrow\) F = \(\dfrac{1007}{2015}+\dfrac{1007}{4032}\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1007}{2015}< \dfrac{1}{2}\\\dfrac{1007}{4032}< \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy F<\(\dfrac{3}{4}\)
Bài 3 :
a) Xét vế trái ta thấy :
\(x^2-y^2=x^2-xy+xy-y^2=x\left(x-y\right)+y\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)= Vế phải ( Điều phải chứng minh )
b) Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác nên chúng luôn dương.
Áp dụng bất đẳng thức cho các cặp số dương a,b,c ta có :
\(\left(a-b+c\right)+\left(a-c+b\right)\ge2\sqrt{\left(a-b+c\right)\left(a-c+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow2a\ge2\sqrt{\left(a-b+c\right)\left(a-c+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(a\ge\sqrt{\left(a-b+c\right)\left(a-c+b\right)}\)
\(\Rightarrow\) \(a^2\ge\left(a-b+c\right)\left(a-c+b\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có :
\(b^2\ge\left(b+c-a\right)\left(a-c+b\right)\left(2\right)\)
\(c^2\ge\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(3\right)\)
Nhân theo vế của (1),(2),(3) ta có :
\(\left(abc\right)^2\ge\left[\left(a-b+c\right)\left(a-c+b\right)\left(b+c-a\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-c+b\right)\left(b+c-a\right)\le abc\) ( Điều phải chứng minh)
Bài 4 :
Gọi E,D,F lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC,AB,AC.
Vì I là giao điểm các đường phân giác trong tam giác ABC nên : ID=IE=IF=x
- Ta có : Tam giác ADI vuông tại D có góc DAI = \(45^0\)
\(\Rightarrow\)Tam giác ADI vuông cân tại D .
hay AD = ID = x
- Xét hai tam giác vuông AID và tam giác vuông AIF có :
Tam giác vuông AID = Tam giác vuông AIF ( cạnh huyền-góc nhọn )
\(\Rightarrow\)AD = AF = x
Vậy ID = IE =IF = AD = AF = x
Xét hai tam giác vuông BEI và tam giác vuông BDI có :
Tam giác vuông BDI = tam giác vuông BEI ( cạnh huyền - góc nhọn)
nên BD = BE = y
- Tương tự ta có : tam giác vuông CIE = tam giác vuông CIF
nên CE = CF = z
Ta có : \(CI^2=CE^2+CI^2=z^2+x^2\left(1\right)\)
Mà : \(\dfrac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}=\dfrac{\left[\left(y+z\right)-\left(x+y\right)\right]^2+\left(x+z\right)^2}{2}=\dfrac{\left(z-x\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}=\dfrac{2x^2+2z^2}{2}=x^2+z^2\left(2\right)\)
Bài 5 :
a)
Ta có : \(\left|x-2014\right|\ge0,"="\Leftrightarrow x-2014=0\Leftrightarrow x=2014\)
\(\Rightarrow\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|+\left|x-2016\right|\ge3,"="\Leftrightarrow x=2014\)
\(\left|y-2015\right|\ge0,"="y-2015=0\Leftrightarrow y=2015\)
Vậy \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|+\left|y-2015\right|+\left|x-2016\right|\ge3,"="\Leftrightarrow x=2014,y=2015\)
Vạy phương trình trên chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất đó là x=2014 và y = 2015
b) Gỉa sử \(a_1< a_2< ...< a_{2013}\)
Mà 2013 số nguyên dương lại sắp xếp thứ tự trên nên :
\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+....\dfrac{1}{a_{2013}}\le\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2013}< \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2}=1007\)
Do đó nếu 2013 số nguyên dương trên khác nhau thì tổng nhỏ hơn 1007 nên phải tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau .