Phương trình đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa :

vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu  ≠  và giá của  song song hoặc trùng với ∆

Nhận xét :

– Nếu  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k ( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và nhận vectơ   = (u1 ; u2) làm vectơ chỉ phương là :

∆ : 

-Khi hệ số u≠ 0 thì tỉ số k=  được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và có hệ số góc k là:

y – y0 = k(x – x0)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều dương của trục Ox

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

Định nghĩa: Vectơ  được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu   ≠  và  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Nhận xét:

– Nếu   là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

– Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+  Nếu a = 0 => y = ;  ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x = ; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆ đi qua gốc tọa độ

+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn:

 +  = 1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  ∆và ∆

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0

Điểm M0(x0 ;y0) là điểm chung của  ∆và ∆2  khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ hai phương trình:

 

(1)  

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆cắt ∆2

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆// ∆2

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆= ∆2

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆và ∆cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆không vuông góc với ∆2thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆và ∆2. Nếu ∆vuông góc với  ∆thì ta nói góc giữa ∆và ∆2bằng  900  .Trường hợp  ∆và ∆song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆và ∆bằng 00. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  900  

Góc giữa hai đường thẳng ∆và ∆được kí hiệu là 

Cho hai đường thẳng  ∆= a1x+b1y + c1 = 0

=  a 2+ b2y +c2 = 0

Đặt  = 

cos   = 

Chú ý:

+  ∆ ⊥ ∆<=> n1 ⊥  n2  <=> a1a2+ b1b= 0

+ Nếu ∆và ∆có phương trình y = kx + mvà y = k2 x + mthì

 ⊥ ∆<=>  k1.k2 = -1.

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm Mđến đường thẳng  ∆ kí hiệu là (M0 ;∆), được tính bởi công thức

d(M0 ;∆) = 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, lý thuyết, các dạng toán và hướng dẫn giải

Các dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...