Phương trình đưa về đa thức của một hàm lượng giác

I. Phương trình đưa về đa thức của một hàm lượng giác

    Phương trình là đa thức hoặc đưa về đa thức của một hàm số lượng giác, ví dụ:

     \(a.\sin^2x+b.\sin x+c=0\)  (phương trình bậc hai đối với sin x)

     \(a.\cos^2x+b.\cos x+c=0\)  (phương trình bậc hai đối với cos x)

      \(a.\tan^2x+b.\tan x+c=0\)  (phương trình bậc hai đối với tan x)

       \(a.\cot^2x+b.\cot x+c=0\)  (phương trình bậc hai đối với cot x)

Chú ý: Các phương trình dạng sau có thể đưa về dạng đa thức của một hàm số lượng giác:

  *) \(a.\cos^2x+b.\sin x+c=0\)  (thay \(\cos^2x=1-\sin^2x\) thì được phương trình đa thức đối với sin)

  *) \(a.\sin^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\sin^2x=1-\cos x\) thì được phương trình đa thức đối với cos)

  *) \(a.\cot^2x+b.\sin x+c=0\)  (thay \(\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với sin)

  *) \(a.\tan^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với cos)

  *) \(a.\tan x+b.\cot x+c=0\)  (thay \(\cot x=\frac{1}{\tan x}\) thì đưa về phương trình đa thức đối với tan)

II. Phương pháp giải

    Đặt ẩn phụ là hàm số lượng giác, đưa về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

III. Các ví dụ

1) Ví dụ 1 (ĐH-2004B). Giải phương trình

    \(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\tan^2x\)

  Giải:

    Điều kiện \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi\) (để tan x có nghĩa)

    \(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)

    \(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}\)

    \(5\sin x-2=3\frac{\sin^2x}{1+\sin x}\)

    \(5\sin^2x+5\sin x-2-2\sin x=3\sin^2x\)

    \(2\sin^2x+3\sin x-2=0\)

    \(\sin x=\frac{1}{2}\) hoặc \(\sin x=-2\) (vô nghiệm)

    \(\sin x=\sin\frac{\pi}{6}\) 

   \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) hoặc \(x=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi\), đối chiếu với điều kiện, cả hai họ nghiệm đều thỏa mãn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

 Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác

Tìm max, min bằng phương pháp lượng giác hóa

Hỏi đáp

Câu 1 (Gửi bởi Mi Lê)
Trả lời
1
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...