Ta có: \(f\left(x\right)=x^2+px+q\)

\(\Rightarrow f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+p.x+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+\left(x^2+p.x+q\right)\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)

\(=f\left(x\right).\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)=f\left(x\right).\left(x^2+px+q+2x+p+1\right)\)

\(=f\left(x\right).\left(\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)p+q\right)=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)

Vậy tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009) ( Chọn x = 2018 thì \(k=f\left(2018\right)+2018\))

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

Cho đa thức f(x) = x^2+ax+b(a,b thuộc Z).Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố k để f(x) = f(2019).f(2020) - Hoc24

Ta có :

\(f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q.\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+px+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)

\(=f\left(x\right)\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)\)

\(=f\left(x\right)\left[\left(x^2+2x+1\right)+\left(px+p\right)+q\right]\)

\(=f\left(x\right)\left[\left(x+1\right)^2+p\left(x+1\right)+q\right]\)

\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)

Từ đây thì ta thấy được nếu :

   \(k=f\left(2008\right)+2008\) thì

\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(f\left(2008\right)+2008\right)\)

\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(2008\right)\times f\left(2009\right)\)

Câu hỏi của nguyễn thu ngà - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của phan tuấn anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath cái này y hệt, tham khảo đi nếu vẫn chưa làm dc thì nhắn cho mk