a ) Xét góc DAC  và góc EAB có

góc ADC = 90 độ + góc ABC (gt) (1)

góc ABE = 90 độ +góc BAC   (2) 

từ (1) và (2)  =>   góc DAC = góc EAB

Xét tam giác DAC và  tam giác EAB có 

AD =AB ( vì tam giác ABD vuông cân )

góc DAC = góc BAE

AC =AE 

=> tam giác DAC = tam giác EAB ( cạnh - góc - cạnh )

=>  DC=EB ( cặp cạnh tương ứng )

+>  chứng minh BE vuông góc với CD 

Gọi O là giao điểm của DC và BE 

Vì góc O1 = O2 ( đối đỉnh )

góc C1 = E1  ( vì tam giác DAC = tam giác EAB ( cmt )

=> góc O = A1 = 90 độ

=>  CD vuông góc với BE ( điều phải chứng minh )

a) Xét tam giác DAC và tam giác BAE có:

AB = AD ( tam giác ABD vuông cân tại A )

AC = AE ( tam giác ACE vuông cân tại A )

\(\widehat{DAC}=\widehat{BAE}\)

\(\Rightarrow\Delta DAC=\Delta BAE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow DE=BC\)( hai cạnh tương wungs bằng nhau )  ( 1 )

Ta có: M là trung điểm của BC ; N là trung điểm của BD và P là trung điểm của CE 

Suy ra PN là đường trung bình của tam giác BEC \(\Rightarrow PN=\frac{EB}{2}\left(2\right)\)và PN // EB

Suy ra PM là đường trung bình của tam giác BCD \(\Rightarrow PM=\frac{DC}{2}\left(3\right)\)và PM // DC

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) suy ra PN = PM ( 4 )

\(\widehat{M_1}\)là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác EMC nên \(\widehat{M_1}=\widehat{E_1}+\widehat{MCE}=\widehat{E_1}+\widehat{C_1}+\widehat{C_2}\)

Mà \(\widehat{C_2}=\widehat{E_2}\)( Vì tam giác DAC = tam giác BAE cmt )

\(\Rightarrow\widehat{M_1}=\widehat{E_1}+\widehat{C_1}+\widehat{E_2}=\widehat{AEC}+\widehat{C_1}=90^0\)( Tam giác AEC vuông cân tại A )

\(\Rightarrow CD\perp BE\left(đpcm\right)\)

b) Vì \(CD\perp BE\)( Đã chứng minh ở câu a )

Ta có \(BE//PN\Rightarrow PN\perp DC\)

Mà \(PM//DC\Rightarrow PN\perp PM\Rightarrow\widehat{MPN}=90^0\left(5\right)\)

Từ ( 4 ) và ( 5 ) suy ra MNP vuông cân tại P ( đpcm )

a) góc DAC=90+BAC

góc BAE=90+BAC

=> góc DAC=BAE

Xét t.g DAC và BAE :

AD=AB

góc DAC=BAE

AC=AE

=> = nhau

=> CD=BE

Gọi O là giao điểm DC và BE, I là giao điểm DC và AB

Ta có

góc DAB= góc EAC (=90)

góc BAC= góc BAC( góc chung)

-> góc DAB+ góc BAC= góc EAC+ góc BAC

-> góc DAC= góc BAE

Xét tam giác DAC và tam giác BAE ta có

AD=AB ( tam giác ABD vuông cân tại A)

AC=AE ( tam giác AEC vuông cân tại A)

góc DAC=góc BAE ( cmt)

-. tam giac DAC= tam giac BAE (c-g-c)

-> góc DAI= góc IBO ( 2 góc tương ứng)

ta có

góc DAI+ góc DIA=90 ( tam giác DAI vuông tại A)

góc DAI= góc IBO (cmt)

góc DIA= góc BIO ( 2 góc đối đỉnh)

--> góc BIO+góc IBO =90

Xét tam giác BIO ta có

góc BIO + góc IBO + góc BIO=180 ( tổng 3 góc trong tam giác)

90+ goc BIO=180

góc BIO=180-90=90

=> BE vuông góc DC tại O

Xét tam giác DBC ta có

M là trung điểm BD (gt)

P là trung điểm BC (gt)

-> MP la đường trung bình tam giác DBC

-> MP// DC và MP=1/2 DC

cmtt PN là đường trung bình tam giác BEC

-> PN//BE và PN=1/2BE

ta có

DC vuông góc BE tại O (cmt)

DC//MP (cmt)

-> MP vuông góc BE

mà BE// PN (cmt)

nên MP vuông góc PN tại P

--> tam giác MNP vuông tại P (1)

ta có

MP=1/2 DC (cmt)

PN=1/2BE (cmt)

DC=BE ( tam giac DAC = tam giac  BAE)

--> MP=PN (2)

từ (1) và (2) suy ra tam giac MNP vuông cân tại P

đường trung bình lớp 8 mà

cherrygirl nếu học nâng cao lớp 7 sẽ học đường trung bình đó bạn