Cho x, y \(\in R\) thỏa mãn:
\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)
Chứng minh rằng: \(x^3+y^3+3xy=1\)
cho \(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+1}\right)=2\)
chứng minh \(x^3+y^3+3xy=1\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:
\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=2\)
Ta có:
\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A được:
\(P=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)
\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=2\)(do xy+yz+xz=1)
=>Đpcm
Dạng toán này rất nhiều bạn hỏi rồi: thay \(xy+yz+zx=1\) vào các căn thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
Cho x , y , z \(\in\left(0;1\right)\)và thỏa mãn điều kiện \(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)=xy\left(1-x\right)\left(1-y\right)\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+3xy-\left(x^2+y^2\right)\)
Cho các số x,y thỏa mãn điều kiện \(\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)=1\). Chứng minh rằng:\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
áp dụng cauchy ngược dấu là xong nhé bạn :>> mình ko đánh đc sorry bạn
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn \(x+y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\)
Chứng minh: \(\dfrac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}\)
\(a^2+b^2=\left(a+b-c\right)^2=a^2+\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)=b^2+\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)\\a^2=\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\dfrac{\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)^2}{\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+a-c\right)}=\dfrac{a-c}{b-c}\) (đpcm)
Cho x; y; z là các số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn x + y + z + 2\(\sqrt{xyz}\)= 1. Chứng minh rằng \(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}+\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}+\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=1+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
cho x;y là các số thực thỏa mãn\(\left(\sqrt{x^2+2}+x\right)\left[\left(y-1\right)\sqrt{y^2-2y+3}\right]\)
Tính x+y
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiên:
1) \(\left(x+2\right)\left(y+2\right)=3\left(x^2+y^2+\sqrt{xy}\right)\)
2) \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3=4\left(x^3+y^3\right)\)
CMR: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\)
Giải hệ phương trình:
1) \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{x-y}=\sqrt{x-y}\\x+y=\sqrt{x+y+2}\end{cases}}\)
2) \(\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\2y=x^3+1\end{cases}}\)
3) \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=13\\\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)=25\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
4) \(\hept{\begin{cases}3y=\frac{y^2+2}{x^2}\\3x=\frac{x^2+2}{y^2}\end{cases}}\)
5) \(\hept{\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=3\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
6) \(\hept{\begin{cases}x^3-8x=y^3+2y\\x^2-3=3\left(y^2+1\right)\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
7) \(\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)+y\left(y+x\right)=4y\\\left(x^2+1\right)\left(y+x-2\right)=y\end{cases}\left(x;y\in R\right)}\)
8) \(\hept{\begin{cases}y+xy^2=6x^2\\1+x^2y^2=5x^2\end{cases}}\)