Từ B kẻ đường thẳng song song với đường phân giác AD, cắt CA ở E. Tam giác ABE cân ở A nên AE = AB = c

\(\Rightarrow\)CE = CA + AE = b + c 

Do đó AD // BE nên ta có :

\(\frac{AD}{BE}=\frac{CA}{CE}\)hay \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\), do đó \(x=\frac{b}{b+c}.BE\)

Mà BE < AB + AC < 2c

\(\Rightarrow\) \(x< \frac{2bc}{b+c}\)hay \(\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( 1 )

Tương tự ta có : \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)( 2 )

ta cũng có : \(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)( 3 )

Cộng từng vế của ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(ĐPCM\right)\)

Hình mình vẽ hơi xấu tí thông cảm

hình bạn tự vẽ

Tam giác ABC tương ứng với a,b,c độ dài các cạnh

từ B dựng đường thẳng song song với tia phân giác AD cắt đường thẳng CA tại E,ta có AE = AB = c

Do AD//BE nên  \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow x=\frac{b}{b+c}.BE\)

Trong tam giác ABE ta có : EB < AB + AE = 2c

vì thế \(x< \frac{2bc}{b+c}\Rightarrow\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự :  \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\); \(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Cộng lại ta được đpcm

Xét tam giác ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Phân giác của các góc A, B, C lần lượt là AD = x, BE = y, CF = z.

Kẻ DM // AB \((M\in AC)\).

Ta có \(\widehat{ADM}=\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\Rightarrow\) Tam giác AMD cân tại M.

Do đó AM = MD.

Áp dụng định lý Thales với DM // AB ta có:

\(\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{CM}{AC}=1-\dfrac{AM}{AC}=1-\dfrac{DM}{AC}\Rightarrow\dfrac{MD}{AB}+\dfrac{MD}{AC}=1\Rightarrow\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\).

Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác ta có \(x=AD< AM+MD=2MD\Rightarrow MD>\dfrac{x}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{MD}< \dfrac{2}{x}\Rightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}< \dfrac{2}{x}\).

Tương tự \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}< \dfrac{2}{y};\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}< \dfrac{2}{z}\).

Cộng vế với vế của các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.

chờ năm sau mjk lên lớp 9 mjk giải cho

Bài này của học sinh giỏi chuyên toán mà 

Giả sử AB=c,BC=a,CA=b; đường phân giác AD có độ dài x. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E.

Dễ thấy: ^ACE = ^AEC (=^BAC/2) => \(\Delta\)ACE cân tại A => AC=AE=b => CE < 2b (BĐT tam giác)

Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{AD}{CE}=\frac{BA}{BE}\)(Do AD // CE) hay \(\frac{x}{CE}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow x=\frac{c.CE}{b+c}\)

Mà BE < 2b nên \(x< \frac{2bc}{b+c}\). Tương tự thì \(y< \frac{2ca}{c+a};z< \frac{2ab}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm).