Hình như đề sai rùi bạn ơi !

Phải sửa xy/x^2+y^2 thành x^2+y^2/xy hoặc cái gì khác

Vì xy/x^2+y^2 chỉ có GTLN chứ ko có GTNN đâu

Mk nói có gì sai thì thông cảm nha !

đề không sai đâu bạn à. Đây là đề toán chuyên ở tỉnh mình mà

Theo B.C.S ta có \(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)\(\ge\)(\(\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)\(=x+y\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(x+y\right)=2+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3\left(x^2+y^2\right)}{4xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}\times\frac{x^2+y^2}{4xy}}\)\(+\frac{3\times2xy}{4xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+1+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y

ĐK : \(x\ne-2\)

ta có \(A=\frac{x^2+2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{3x^2+6x+9}{3\left(x+2\right)^2}=\frac{2x^2+8x+8+x^2-2x+1}{3\left(x+2\right)^2}\)

             \(=\frac{2\left(x+2\right)^2+\left(x-1\right)^2}{3\left(x+2\right)^2}=\frac{2}{3}+\frac{\left(x-1\right)^2}{3\left(x+2\right)^2}\) 

vì (x-1)^2 >=0=> \(\frac{\left(x-1\right)^2}{3\left(x+2\right)^2}>=0\)

=> \(A>=\frac{2}{3}\)

dấu = xảy ra <=> x=1 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

Ta có: \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy\)

\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)\(\ge4+2+1=7\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy\right)_{Min}=7\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

à nhầm, bạn pham trung thanh làm đúng rồi đấy mọi người ủng hộ bạn ấy nha

GTNN là -2009 <=> x = 2; y = 3

C không có GTLN vì x và y càng lớn hoặc càng nhỏ thì -|x - 2| và -|y - 3| càng nhỏ

Vì  - / x-2/ </0

và - / y -3/ </ 0

=> C = -/ x-2/ - / y -3/ - 2009 </ 0+0-2009 = - 2009

Max C = -2009 khi  x -2 =0 => x =2 và y -3 =0 => y =3

Ta có -|x - 2| < 0 ; -|y - 3| < 0

=> -|x - 2| - |y-3| < 0

=> C = -|x -2| - |y - 3| - 2009 < - 2009

GTLN của C là -2009 <=> |x - 2| = 0 ; |y - 3| = 0 <=> x = 2 và y = 3

\(Q=2x^2+\frac{2}{x^2}+3y^2+\frac{3}{y^2}+\frac{4}{x^2}+\frac{5}{y^2}\)

Áp dụng cô si ,ta có

\(2x^2+\frac{2}{x^2}\ge2\sqrt{2x^2\cdot\frac{2}{x^2}}=4\)

\(3y^2+\frac{3}{y^2}\ge2\sqrt{3y^2\cdot\frac{3}{y^2}}=6\)

\(\Rightarrow Q\ge4+6+9=19\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

GTLN :

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{\left(x^2+x+1\right)-x^2}{x^2+x+1}=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\)

Vì \(\frac{x^2}{x^2+x+1}=\frac{x^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\forall x\) nên \(A=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\le1\forall x\) có GTLN là 1

GTNN : 

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}{x^2+x+1}=\frac{-\frac{1}{3}\left(x^2+x+1\right)+\frac{1}{3}\left(x+2\right)^2}{x^2+x+1}\)

\(=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}\left(x+2\right)^2}{x^2+x+1}=-\frac{1}{3}+\frac{\left(x+2\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge-\frac{1}{3}\) có GTNN là \(-\frac{1}{3}\)

\(A=\left|x+1\right|+\left|y-2\right|\ge\left|x+1+y-2\right|=\left|x+y-1\right|=\left|5-1\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left(x+1\right)\left(y-2\right)=\left|\left(x+1\right)\left(y-2\right)\right|\)

                                         <=> (x+1)(y-2) lớn hơn hoặc bằng 0

<=> x+1 lớn hơn hoặc bằng 0 và y-2 lớn hơn hoặc bằng 0

       x+1 bé hơn hoặc bằng 0 và y-2 bé hơn hoặc bằng 0

<=> x lớn hơn hoặc bằng -1 và y lớn hơn hoặc bằng 2

       x bé hơn hoặc bằng -1 và y bé hơn hoặc bằng 2

<=> x lớn hơn hoặc bằng 2

       x bé hơn hoặc bằng -1

Vậy A_min = 4 khi và chỉ khi x lớn hơn hoặc bằng 2 hoặc x bé hơn hoặc bằng -1