\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\ge0\Rightarrow x+y\ge0\)

\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\le\sqrt{2\left(x+y+12\right)}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+12\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y+4\right)\left(x+y-6\right)\le0\)

\(\Rightarrow x+y\le6\) (do \(x+y+4>0\))

\(P_{max}=6\) khi \(x=y=3\)

\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge x+y+12\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-12\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)\left(x+y-4\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x+y-4\ge0\) (do \(x+y+3>0\))

\(\Rightarrow x+y\ge4\)

\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-6;10\right)\) và hoán vị

Ta có: x - \(\sqrt{x+6}\) = \(\sqrt{y+6}\) - y (x; y \(\ge\) -6)

\(\Leftrightarrow\) P = x + y  = \(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

\(\Leftrightarrow\) P² = x + y + 12 + 2\(\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm x + 6 và y + 6 ta có:

\(x+y+12\ge2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

\(\Leftrightarrow\) P² \(\le\) x + y + 12 + x + y + 12 = 2x + 2y + 24 = 2P + 24

\(\Leftrightarrow\) P² - 2P - 24 \(\le\) 0

\(\Leftrightarrow\) P² - 36 + 12 - 2P \(\le\) 0

\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 6) + 2(6 - P) \(\le\) 0

\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 4) \(\le\) 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}P-6\ge0\\P+4\le0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}P-6\le0\\P+4\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}-4\ge P\ge6\left(KTM\right)\\6\ge P\ge-4\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) -4 \(\le\) P \(\le\) 6

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

M=x+2y =>x=M-2y

(M-2y)²+2.(M-2y).y+3.y²=6

3.y²-2My+M²-6=0

Pt có nghiệm khi \(\Delta'\ge0\\ M^2-3.\left(M^2-6\right)\ge0\\ -2M^2+18\ge0\\ M^2\le9\\ \)

\(-3\le M\le3\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^6}{64}}=\frac{3}{4}x^2$

$y^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}y^2$

Cộng 2 BĐT trên và thu gọn theo vế thì:

$A+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow A+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow A\geq \frac{1}{4}$

--------------------

Lại có:

$x^2+y^2=1\Rightarrow x^2\leq 1; y^2\leq 1\Rightarrow x^4\leq 1; y^4\leq 1$

Khi đó:

$x^6\leq x^2; y^6\leq y^2$

$\Rightarrow x^6+y^6\leq x^2+y^2$

$\Rightarrow A\leq 1$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{4}; A_{\max}=1$

\(\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+9+y^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2+y^2-3=0\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2=3-y^2\le3\)

\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)^2\le3\Rightarrow-\sqrt{3}\le x+y+3\le\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow-3-\sqrt{3}\le x+y\le-3+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{max}=-3+\sqrt{3}\\S_{min}=-3-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Bài này chỉ có min, không có max của A nhé bạn

Muốn có max thì x;y;z phải không âm

ai giải = cách tam thức bậc 2 càng tốt nha mình k mạnh cho