\(A\ge\frac{9}{a+2+b+2+c+2}+\frac{1}{9abc}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{9}{7}+\frac{1}{9abc}\)

Theo BĐT AM-GM ta có: \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{9abc}\ge3\)

Do đó ta có: 

\(A\ge\frac{9}{7}+3=\frac{30}{7}\)

Ta có: \(a+b+c=1\Rightarrow c\le\frac{1}{3}\)

vì vai trò a,b,c như nhau giả sử: \(c\ge a;c\ge b\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\ge\frac{a+b+c}{c^2+1}\ge\frac{9}{10}\)

Theo AM GM 3 số ta có:\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\Leftrightarrow\frac{1}{9abc}\le3\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{10}+3=\frac{39}{10}\) Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

ui..khó qw ~ mún giải lắm nhưng hk đc...e ms lp 7 thoy ak***ahihi^^

nè  đọc cái bất đnagử thức shur và kĩ năng đặt ẩn p-q-r đi là giải ra , nên tìm kiếm trong ộng tổ google đi nhé\

Áp dụng BĐT  AM-GM ta có :

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)

\(=\frac{9}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Mặt khác theo BĐT  AM-GM  có :

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)^3}{3}\right)=27\)

\(\Rightarrow\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\ge a^2+b^2+c^2\)

Đặt  \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{81}{9}.3=\frac{10}{3}\)

Vậy \(MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=-1\)

Sửa lại chút  , vội quá nên đánh lỗi .

Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8t}{9}\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)

\(\Rightarrow MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

tính hộ 1 chia 0 nha

Có: \(\frac{2018a+3}{1+b^2}=2018a+3-\frac{b^2\left(2018a+3\right)}{1+b^2}\) (Làm tắt ráng hiểu ^^)

                                \(\ge2018a+3-\frac{b^2\left(2018a+3\right)}{2b}\left(Cauchy\right)\)

                                  \(=2018a+3-\frac{b\left(2018a+3\right)}{2}\)

                                   \(=2018a+3-\frac{2018ab+3b}{2}\)

Tương tự \(\frac{2018b+3}{1+c^2}\ge2018b+3-\frac{2018bc+3b}{2}\)

                \(\frac{2018c+3}{1+a^2}\ge2018c+3-\frac{2018ac+3a}{2}\)

CỘng vế với vế của các bđt trên lại ta được 

\(A\ge2018\left(a+b+c\right)+9-\frac{2018\left(ab+bc+ca\right)+3\left(a+b+c\right)}{2}\)

     \(=2018\left(a+b+c\right)+9-\frac{6054+3\left(a+b+c\right)}{2}\)

       \(=2018\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-3018\)

       \(=\frac{4033\left(a+b+c\right)}{2}-3018\)

Ta có bđt phụ : \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\)(1)

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)   

                       \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3ab+3bc+3ca\)

                     \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

                   \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Nên (1) được chứng minh

ÁP dụng (1) ta được \(A\ge\frac{4033\left(a+b+c\right)}{2}-3018\ge\frac{4033}{2}\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}-3018\)

                                                                                                     \(=\frac{4033}{2}\sqrt{3.3}-3018\)

                                                                                                       \(=\frac{6063}{2}\)

Dấu "='' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\ab+bc+ca=3\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)

Vậy \(A_{min}=\frac{6063}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)