Từ \(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\)

                                    \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

                                     \(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

                                     \(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(-c\right)=-c^3\)

                                     \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Ta có a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> (a + b)³  - 3ab(a + b) + c³ = 3abc

<=> (a + b + c)[(a + b)² - (a + b)c + c²] - 3ab(a + b + c) = 0

<=> (a + b + c)(a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3ab) = 0 

<=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(\text{tmđk}\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

Khi a² + b² + c² - ab - ac - bc = 0 

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0 

<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (a² - 2ac + c²) = 0 

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\left(\text{loại}\right)\)

Vậy a + b + c = 0

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]}{2}=0\)

Vì a,b,c > 0 nên a+b+c > 0

Do đó : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow}a=b=c\)

1) có: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
((a + b)3 + c^3( - 3ab(a + b) - 3abc = 0
<=>(a + b + c)((a + b)2 - (a + b).c + c2( - 3ab(a + b + c) = 0
<=>(a + b + c) (a2 + b2 + c2- ac - bc - ab( = 0

Từ đây cho nhận xét:
+ Nếu a + b + c = 0 có a3 + b3 + c3 = 3abc (I)
a + b + c = 0 
+ Nếu a^3 + b^3 + c^3 = 3abc thì 
a = b = c

ak thôi CHTT có rồi,mn khỏi phải giải

Ta dùng cách chứng minh ngược :

Nếu \(a=b=c\) thì \(a^3=b^3=c^3=abc\)

\(\Rightarrow a^3+a^3+a^3=abc+abc+abc\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)