Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.b^4.c^4}=4a^2bc\)

Tương tự ta cũng có:

\(b^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{b^4.b^4.c^4.d^4}=4b^2cd\)

\(c^4+c^4+d^4+a^4\ge4\sqrt[4]{c^4.c^4.d^4.a^4}=4c^2da\)

\(d^4+d^4+a^4+b^4\ge4\sqrt[4]{d^4.d^4.a^4.b^4}=4d^2ab\)

Cộng theo vế các BĐT trên, ta được:

\(4\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra.....

Thường là đề trên cho thêm dữ kiện a,b,c,d\(\ge0\), hoặc bạn có thể dùng dấu GTTĐ( Cũng làm như trên , nhưng áp dụngthêm \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|\ge a\\\left|b\right|\ge b\end{matrix}\right.\))

a/b=c/d nên ad=bc

Ta có:

(a+b)(c-d)= ac -ad +bc -bd=ac-bd(1)

(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd=ac-bd(2)

Từ (1) và (2) suy ra: (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d) nên: (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)

A/D tỉ lệ thức ta dc :

  \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(=>\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=>\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)

đpcm 

Gọi giá trị chung của các tỉ số đó là k, ta có :

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow\) \(a=k\times b\) ; \(c=k\times d\)

Ta có :

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{k\times b+b}{k\times b-b}=\frac{b\times\left(k+1\right)}{b\times\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\)   (1)

\(\frac{c+d}{c-d}=\frac{k\times d+d}{k\times d-d}=\frac{d\times\left(k+1\right)}{d\times\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\)   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)

+ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{3a}{3c}=\frac{b}{d}=\frac{3a+b}{3c+d}\) \(\Rightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a\cdot b}{c\cdot d}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\Rightarrow\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

câu cuối lm tương tự

a)

    \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow\left(1-\frac{b}{a}\right)=\left(1-\frac{d}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

b)

    Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được; 

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}\)

c)

      \(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow3+\frac{b}{a}=3+\frac{d}{c}\Leftrightarrow\frac{3a+b}{a}=\frac{3c+d}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)