Ta có:

\(\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)...\left(2n\right)=\frac{1.2.3...n\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)...\left(2n\right)}{1.2.3...n}\)

\(=\frac{1.3.5...\left(2n-1\right).\left(2.4.6...2n\right)}{1.2.3...n}=\frac{1.3.5...\left(2n-1\right).2^n.\left(1.2.3...n\right)}{1.2.3...n}\)

\(=1.3.5...\left(2n-1\right).2^n⋮2^n\left(đpcm\right)\)

Lúc này dễ dàng tìm được thương của phép chia là 1.3.5...(2n - 1)

a) Gọi ƯC(3n + 4; 2n + 3) = d

=> 3n + 4 ⋮ d => 2(3n + 4) ⋮ d hay 6n + 8 ⋮ d (1)

=> 2n + 3 ⋮ d => 3(2n + 3) ⋮ d hay 6n + 9 ⋮ d (2)

Từ (1) và (2) => 6n + 9 - 6n - 8 ⋮ d

hay 1 ⋮ d => d ∈ Ư(1) = 1

=> d = 1 hay ƯC(3n + 4; 2n + 3) = 1

Vậy 3n + 4 và 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

b) làm tương tự ( nhân 2 vào vế n + 5 )

a) Đặt (3n + 4, 2n + 3) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+4⋮d\Rightarrow2\left(3n+4\right)⋮d\Rightarrow6n+8⋮d\\2n+3⋮d\Rightarrow3\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow6n+9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(6n+9\right)-\left(6n+8\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy...

Gọi 

ƯCLN(3n+4;2n+3)=d

Ta có:

3n+4 chia hết cho d

2n+3 chia hết cho d

=>3(2n+3)-2(3n+4) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

Vậy .........

Ta có:

2n+11 chia hết cho d

n+5 chia hết cho d

=>2n+11-2(n+5) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

Vậy.........

Giả sử: \(\left(2n+1;2n+3\right)=d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-1⋮d\)

\(\Rightarrow3-1⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d=Ư\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)

Vì \(2n+3\) và \(2n+1\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮̸2\\2n+3⋮̸2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+1;2n+3\right)=1\)

Vậy \(2n+1\) và \(2n+3\left(n\in N\right)\) là 2 số nguyên tố cùng nhau.

đặt (2n+1;2n+3)\(⋮\)d (d\(\in\)N*)

\(\Rightarrow\)2n+1\(⋮\)d;2n+3\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)(2n+3)-(2n+1)\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)2\(⋮\)d \(\Rightarrow\)d=\(\)1 và 2

vì 2n+1 \(⋮̸\)2 nên d=1

m ở đâu

Không biết thế này có đúng không nhưng mình vẫn muốn hỏi

Gọi d là WCLN(2n+3, 3m+4); n thuộc N

Ta có: 2n+3 chia hết cho d; 3m+4 chia hết cho d

3(2n+3) chia hết cho d; 2(3m+4) chia hết cho d

nên (6m+9-6n+8)

=> d chia hết cho 1

=> d=1

Đặt d=UCLN(2n+3;4n+8)

Ta có: 2n+3 chia hết cho d

4n+8 chia hết cho d =>(4n+8):2=2n+4

=> (2n+4)-(2n+3)=1 chia hết cho d

=>d=1

vậy 2n+3 và 4n+8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Theo đề bài, ta có: 

2n+3; 4n+8 \(⋮\) d

+) 2n+3 \(⋮\) d

+) 4n+8 \(⋮\) d => 2n+4 \(⋮\)d ( Vì 4n+8 : 2 )

Suy ra, (2n+4) - (2n+3) \(⋮\)d và d=1

Số nguyên tố tìm được là 1. Vậy 2 số 2n+3 và 4n+8 là 2 số nguyên tố cùng nhau.