a. A có nghĩa khi \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne\\\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\ne0\end{matrix}\right.0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

A\(=\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\)\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

b. \(x=7+4\sqrt{3}\Rightarrow\)A = \(\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+1}{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}+1}{\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)

a. ĐKXĐ : x>1.

b. \(A=\left(\dfrac{4}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}=\left[\dfrac{4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right].\left(\sqrt{x}-1\right)=\dfrac{4+\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\left(\sqrt{x}-1\right)=\dfrac{4+x}{\sqrt{x}}\)

c. Thay \(x=4-2\sqrt{3}\) vào A, ta có:

\(A=\dfrac{4+4-2\sqrt{3}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\dfrac{8-2\sqrt{3}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}=\dfrac{8-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\left(8-2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}=\dfrac{8\sqrt{3}+8-6-2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2+6\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\left(1+3\sqrt{3}\right)}{2}=1+3\sqrt{3}\)

Vậy giá trị của A tại \(x=4-2\sqrt{3}\) là \(1+3\sqrt{3}\).

\(P=\frac{3\left(x+\sqrt{x}-3\right)}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\left(ĐKXĐ:x\ne1;x\ge0\right)\)

\(P=\frac{3x+3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{3x+3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{3x+3\sqrt{x}-9+x+2\sqrt{x}-3-x+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{3x-8+5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{3x-3\sqrt{x}+8\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{\left(3\sqrt{x}+8\right)\left(\sqrt{x-1}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{\left(3\sqrt{x}+8\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

b)Để \(P< \frac{15}{4}\)thì \(\frac{\left(3\sqrt{x}+8\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)}< \frac{15}{4}\)

      Ta có:\(\frac{\left(3\sqrt{x}+8\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)}< \frac{15}{4}\)

          \(\Leftrightarrow\frac{\left(3\sqrt{x}+8\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{15}{4}< 0\)

           \(\Leftrightarrow\frac{12\sqrt{x}+32-15\sqrt{x}-30}{4\left(\sqrt{x}+2\right)}< 0\)

            \(\Leftrightarrow\frac{-\left(3\sqrt{x}+2\right)}{4\sqrt{x}+8}< 0\)

                 Vì \(x\ge0;x\ne1\)

                              Do đó \(0< 4\sqrt{x}+8\)

   Mà \(-\left(3\sqrt{x}+2\right)< 0\)

          Vậy \(P< \frac{15}{4}\left(đpcm\right)\)

c)Ta có:\(P=\frac{\left(3\sqrt{x}+8\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

             \(\Leftrightarrow P=\frac{3\sqrt{x}+6+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

             \(\Leftrightarrow P=\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{2}{2\sqrt{x}+2}\)

              \(\Leftrightarrow P=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)

Vì \(x\ge0;x\ne1\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{x}+2}\le1\)

       Do đó \(P\le4\Leftrightarrow x=1\)

                Vậy Max P=4 khi x=1

P=3x+3√x−9(√x−1)(√x+2) +√x+3√x+2 −√x−2√x−1 

P=3x+3√x−9(√x−1)(√x+2) +(√x+3)(√x−1)(√x+2)(√x−1) −x−4(√x−1)(√x+2) 

P=3x+3√x−9+x+2√x−3−x+4(√x−1)(√x+2) 

P=3x−8+5√x(√x−1)(√x+2) 

P=3x−3√x+8√x−8(√x−1)(√x+2) 

P=(3√x+8)(√x−1)(√x−1)(√x+2) 

P=(3√x+8)(√x+2) 

b)Để P<154 thì (3√x+8)(√x+2) <154 

      Ta có:(3√x+8)(√x+2) <154 

          ⇔(3√x+8)(√x+2) −154 <0

           ⇔12√x+32−15√x−304(√x+2) <0

            ⇔−(3√x+2)4√x+8 <0

                 Vì x≥0;x≠1

                              Do đó 0<4√x+8

   Mà −(3√x+2)<0

          Vậy P<154 (đpcm)

c)Ta có:P=(3√x+8)(√x+2) 

             ⇔P=3√x+6+2(√x+2) 

             ⇔P=3(√x+2)(√x+2) +22√x+2 

              ⇔P=3+2√x+2 

Vì x≥0;x≠1⇒2√x+2 ≤1

       Do đó 

\(ĐKXĐ:0\le x\ne x\)

a) \(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(P=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right].\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(P=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(P=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(P=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

b) \(P=-x+\sqrt{x}=-\left(x-2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(\sqrt{x}.\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow MAX_P=\frac{1}{4}\text{ khi }x=\frac{1}{4}\)

\(a.A=\frac{5\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}.\)

\(=\frac{5\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)\(+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)\(-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{5\sqrt{x}+4+x-2\sqrt{x}+1-x-4\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

\(b,4A_{min}\Leftrightarrow A_{min}\Rightarrow\frac{-1}{\sqrt{x}+2}\)nhỏ nhất

\(\frac{\Rightarrow1}{\sqrt{x}+2}\)lớn nhất \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\)nhỏ nhất

\(\sqrt{x}+2\ge2\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{-1}{0+2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow4A_{min}=-1\Leftrightarrow x=0\)

a) Với x = 25 thì \(N=\frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}\)

b) Ta có   \(M=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(M=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

Suy ra \(S=M.N=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)