Chtt

Đêm ùi mà còn nhờ 1 đống zậy muốn xỉu lun oy

Toán khó phải có người lo mink ko lo đc mấy bn lo dùm mink nka

a.

\(2^{2024}=2^2.2^{2022}=4.\left(2^3\right)^{674}=4.8^{674}\)

Do \(8\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow8^{674}\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow4.8^{674}\equiv4\left(mod7\right)\)

Hay \(2^{2024}\) chia 7 dư 4

b.

\(5^{70}+7^{50}=\left(5^2\right)^{35}+\left(7^2\right)^{25}=25^{35}+49^{25}\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}25\equiv1\left(mod12\right)\\49\equiv1\left(mod12\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}25^{35}\equiv1\left(mod12\right)\\49^{25}\equiv1\left(mod12\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow25^{35}+49^{25}\equiv2\left(mod12\right)\)

Hay \(5^{70}+7^{50}\) chia 12 dư 2

c.

\(3^{2005}+4^{2005}=\left(3^5\right)^{401}+\left(4^5\right)^{401}=243^{401}+1024^{401}\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}243\equiv1\left(mod11\right)\\1024\equiv1\left(mod11\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}243^{401}\equiv1\left(mod11\right)\\1024^{401}\equiv1\left(mod11\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow243^{401}+1024^{401}\equiv2\left(mod11\right)\)

Hay \(3^{2005}+4^{2005}\) chia 11 dư 2

d.

\(1044\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow1044^{205}\equiv1\left(mod7\right)\)

Hay \(1044^{205}\) chia 7 dư 1

e.

\(3^{2003}=3^2.3^{2001}=9.\left(3^3\right)^{667}=9.27^{667}\)

Do \(27\equiv1\left(mod13\right)\Rightarrow27^{667}\equiv1\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow9.27^{667}\equiv9\left(mod13\right)\)

hay \(3^{2003}\) chia 13 dư 9

Ta có:

\(2222\equiv-4\left(mod7\right)\Rightarrow2222^{5555}\equiv\left(-4\right)^{5555}\left(mod7\right)\left(1\right)\)

\(5555\equiv4\left(mod7\right)\Rightarrow5555^{2222}\equiv4^{2222}\left(mod7\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2222^{5555}+5555^{2222}\equiv\left(-4\right)^{5555}+4^{2222}\left(mod7\right)\)

Mà (-4)⁵⁵⁵⁵ + 4²²²² = -4²²²².(4³³³³ - 1) = -4²²²².[(4³)¹¹¹¹ - 1] = -4²²²².(64¹¹¹¹ - 1)

Lại có: \(64\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow64^{1111}\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow64^{1111}-1\equiv1-1\left(mod7\right)\) hay \(64^{1111}-1⋮7\)

\(\Rightarrow-4^{2222}.\left(64^{1111}-1\right)⋮7\)

hay \(2222^{5555}+5555^{2222}⋮7\left(đpcm\right)\)

Ta thấy: 7 đồng dư với 1(mod 2)

=>7⁷ đồng dư với 1⁷(mod 2)

=>7⁷ đồng dư với 1(mod 2)

=>7⁷=2k+1

=>\(7^{7^7}=7^{2k+1}\)

7 đồng dư với 3(mod 4)

=>7 đồng dư với -1(mod 4)

=>7² đồng dư với (-1)²(mod 4)

=>7² đồng dư với 1(mod 4)

=>(7²)^k đồng dư với 1^k(mod 4)

=>7^2k đồng dư với 1(mod 4)

=>7^2k.7 đồng dư với 1.7(mod 4)

=>7^2k+1 đồng dư với 7(mod 4)

=>7^2k+1 đồng dư với 3(mod 4)

=>7^2k+1=4m+3

=>\(7^{7^{7^7}}=7^{4m+3}\)

7⁴=2401 đồng dư với 1(mod 10)

=>(7⁴)^m đồng dư với 1^m(mod 10)

=>7^4m đồng dư với 1(mod 10)

=>7^4m.7³ đồng dư với 1.7³(mod 10)

=>7^4m+3 đồng dư với 343(mod 10)

=>7^4m+3 đồng dư với 3(mod 10)

=>\(7^{7^{7^7}}\) đồng dư với 3(mod 10)

Lại có: 7 đồng dư với 3(mod 4)

=>7 dồng dư với -1(mod 4)

=>7⁷ dồng dư với (-1)⁷(mod 4)

=>7⁷ dồng dư với -1(mod 4)

=>7⁷ dồng dư với 3(mod 4)

=>7⁷=4n+3

=>\(7^{7^7}=7^{4n+3}\)

7⁴=2401 đồng dư với 1(mod 10)

=>(7⁴)ⁿ đồng dư với 1ⁿ(mod 10)

=>7⁴ⁿ đồng dư với 1(mod 10)

=>7⁴ⁿ.7³ đồng dư với 1.7³(mod 10)

=>7⁴ⁿ⁺³ đồng dư với 343(mod 10)

=>7⁴ⁿ⁺³ đồng dư với 3(mod 10)

=>\(7^{7^7}\)đồng dư với 3(mod 10)

             =>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\) đồng dư với 3-3(mod 10)

             =>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\)đồng dư với 0(mod 10)

            =>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\)chia hết cho 10

1, Dễ thấy : \(5^2=25\equiv1\left(mod12\right)\)                                         \(7^2=49\equiv1\left(mod12\right)\)

             \(\rightarrow\left(5^2\right)^{35}\equiv1^{35}\left(mod12\right)\)                                     \(\rightarrow\left(7^2\right)^{35}\equiv1^{35}\left(mod12\right)\)

           \(\rightarrow5^{70}\equiv1\left(mod12\right)\)                                                 \(\rightarrow7^{70}\equiv1\left(mod12\right)\)

Vậy \(5^{70}:12\left(dư1\right)\) và \(7^{70}:12\left(dư1\right)\)Vậy \(\left(5^{70}+7^{70}\right):12\left(dư2\right)\)

Bài 2 :  Ta có : 3012 = 13.231 + 9

Do đó: 3012 đồng dư với 9 (mod13)

=> \(3012^3\)đồng dư với \(9^3\left(mod13\right)\). Mà \(9^3=729\)đồng dư với 1 (mod13)

=> \(3012^3\)đồng dư với 1 (mod13)

Hay \(3012^{93}\)đồng dư với 1 (mod13)

=> \(3012^{93}-1\)đồng dư với 0 (mod13)

Hay \(3012^{93}-1⋮13\left(đpcm\right)\)

Bếu hít

N chia 5 dư 3 => y là 3 hoặc 8

mà N chia 2 dư 1 => y là 3

N chia hết cho 9 , khi đó: 3 + x + 5 + 3 chia hết 9 <=> 11 + x chia hết 9 

=> x = 7

Vậy N: 3753

\(N\div2\) (dư 1) \(\Rightarrow N\) là số lẻ \(\Rightarrow y\left\{1;3;5;7;9\right\}\)

\(N\div5\) (dư 3) \(\Rightarrow y\in\left\{3;8\right\}\). Nhưng vì N là số lẻ => y = 3

Vậy ta có số mới là: \(\overline{3x53}\)

\(N⋮9\Rightarrow3+x+5+3=\left(11+x\right)⋮9\Rightarrow x=7\\ \Rightarrow N=3753\)