cho a,b,c thỏa mãn
\(\frac{a+b-2017.c}{c}=\frac{b+c-2017.a}{a}=\frac{c+a-2017.b}{b}\)
tính giá trị biểu thức
B=\(\left(1+\frac{b}{a}\right).\left(1 +\frac{a}{c}\right).\left(1+\frac{c}{d}\right)\)
Cho a,b,c là 3 số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện : \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\)
Hãy tính giá trị của biểu thức \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\)
TH1: Nếu a+b+c \(\ne0\)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=1\)
mà \(\frac{a+b-c}{c}+1=\frac{b+c-a}{a}+1=\frac{c+a-b}{b}+1=2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=2\)
Vậy \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=8\)
TH2 : Nếu a+b+c = 0
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=0\)
mà \(\frac{a+b-c}{c}+1=\frac{b+c-a}{a}+1=\frac{c+a-b}{b}+1=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=1\)
vậy \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=1\)
\(\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{b+c-a}{a}+2=\frac{c+a-b}{b}+2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}\)
TH1: a+b+c=0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\Rightarrow B=\left(1-\frac{a+c}{a}\right).\left(1-\frac{b+c}{c}\right).\left(1-\frac{a+b}{b}\right)=-1\)
TH2: a+b+c khác 0
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow B=\left(1+\frac{a}{a}\right).\left(1+\frac{a}{a}\right).\left(1+\frac{a}{a}\right)=2^3=8\)
CHO CÁC SỐ DƯƠNG a,b,c khác d và \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
CMR. \(\frac{\left(a^{2016}+b^{2016}\right)^{2017}}{\left(c^{2016}+d^{2016}\right)^{2017}}=\frac{\left(a^{2017}-b^{2017}\right)^{2016}}{\left(c^{2017}-b^{2017}\right)^{2016}}\)
bài này dễ vào TH 0,5 điểm trong bài thi
nghe có vẻ khó nhưng chú ý 1 chút là có thể làm được
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^{2016}}{c^{2016}}=\frac{b^{2016}}{d^{2016}}\)\(\Rightarrow\left(\frac{a^{2016}}{c^{2016}}\right)^{2017}=\left(\frac{b^{2016}}{d^{2016}}\right)^{2017}\)
áp dụng t/c dãy t/s = nhau
\(\Rightarrow\left(\frac{a^{2016}}{c^{2016}}\right)^{2017}=\left(\frac{b^{2016}}{d^{2016}}\right)^{2017}=\)\(\frac{\left(a^{2016}+b^{2016}\right)^{2017}}{\left(c^{2016}+d^{2016}\right)^{2017}}\)
biến đổi tiếp cái kia tương tự rồi suy ra chúng = nhau nhé
Cho \(\hept{\begin{cases}a\cdot\left(b^{2+c^2}\right)+b\cdot\left(b^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc=0\\a^{3+}b^3+c^3=1\end{cases}Tính}A=\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}\left(a,b,c#0\right)\)
Cho các số nguyên dương a,b,c,d và \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{\left(a^{2016}+b^{2016}\right)^{2017}}{\left(c^{2016}+d^{2016}\right)^{2017}}=\frac{\left(a^{2017}-b^{2017}\right)^{2016}}{\left(c^{2017}-d^{2017}\right)^{2016}}\)
Cho a, b, c\(\ne\)0, thỏa mãn:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}-\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=2\)
Tính \(H=\left(\left(a+b\right)^{2017}-c^{2017}\right)\left(\left(b+c\right)^{2017}-a^{2017}\right)\left(\left(c+a\right)^{2017}-b^{2017}\right)\)
Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(ab+bc+ca=3abc\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K=\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\).
\(K=\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\left(a,b,c>0\right)\).
Ta có:
\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+c^2\right)-c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{a^2+c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\)\(=\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\).
Vì \(a,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+c^2\ge2ac\).
\(\Leftrightarrow c\left(a^2+c^2\right)\ge2ac^2\).
\(\Rightarrow\frac{1}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2ac^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{c^2}{2ac^2}=\frac{1}{2a}\).
\(\Leftrightarrow-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge-\frac{1}{2a}\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\left(1\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\) .
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}\left(a,b>0\right)\left(2\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)
Chứng minh tương tự, ta dược:
\(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\left(b,c>0\right)\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\)\(\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\).
\(\Leftrightarrow K\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\).
Mà \(ab+bc+ca=3abc\)(theo đề bài).
Do đó \(K\ge\frac{1}{2}.\frac{3abc}{abc}\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3abc}{2abc}\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3}{2}\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\ab+bc+ca=3abc\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\).
Vậy \(minK=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\).
cho a, b, c là 3 số thực khác 0, thỏa mãn
\(\frac{a+b-2017\cdot c}{c}=\frac{b+c-2017\cdot a}{a}=\frac{c+a-2017\cdot b}{b}\)
tính giá trị của biểu thức
B=\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\cdot\left(1+\frac{a}{c}\right)\cdot\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
CMR : a, \(\frac{\left(a-b\right)^3}{\left(c-d\right)^3}=\frac{3a^3+2b^3}{3c^3+3d^3}\)
b,\(\frac{a^{10}+b^{10}}{\left(a+b\right)^{10}}=\frac{c^{10}+d^{10}}{\left(c+d\right)^{10}}\)
c,\(\frac{a^{2017}}{b^{2017}}=\frac{\left(a-c\right)^{2017}}{\left(b-d\right)^{2017}}\)
a)tính giá trị biểu thức: \(A=\frac{2.1+1}{\left(1^2+1\right)^2}+\frac{2.2+1}{\left(2^2+2\right)^2}+\frac{2.3+1}{\left(3^2+3\right)^2}+...+\frac{2.2015+1}{\left(2015^2+2015\right)^2}+\frac{2.2016+1}{\left(2016^2+2016\right)^2}\)
b) cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\), tính giá trị biểu thức: \(M=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
b) trước hết ta cần chứng minh nếu x+y+z=0 thì x^3+y^3+z^3=3xyz
ta có x+y+z=0==> x=-(y+z)
<=> \(x^3=-\left(y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)\right)\)
<=> \(x^3+y^3+z^3=-3yz\left(y+z\right)\)
<=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)( cì y+z=-x)
áp dụng vào bài ta có \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
do đó M=\(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc\cdot\frac{3}{abc}=3\)