a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow AC\bot BC\)

mà \(ON\bot BC\) (N là điểm chính giữa cung BC)

\(\Rightarrow CK\parallel EN\) mà \(NK\bot KC\Rightarrow NK\bot EN\)

\(\Rightarrow\angle KCE=\angle KNE=\angle CEN=90\Rightarrow ECKN\) là hình chữ nhật

\(\angle KNO=90\Rightarrow KN\) là tiếp tuyến

b) ECKN là hình chữ nhật \(\Rightarrow ECKN\) cũng nội tiếp

\(\Rightarrow\angle KEN=\angle KCN=\angle CNE\) \((KC\parallel NE)\)

Vì \(AC\parallel ND\) mà ACND nội tiếp \(\Rightarrow ACND\) là hình thang cân

\(\Rightarrow\angle CNE=\angle ADN\Rightarrow\angle KEN=\angle ADN\) \(\Rightarrow KE \parallel AD\)

mà \(KA\parallel ED\) \(\Rightarrow KEDA\) là hình bình hành

c) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MO\bot AC\\NK\bot AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MO\parallel NK\) \(\Rightarrow\dfrac{NI}{IM}=\dfrac{NK}{MO}\Rightarrow\dfrac{NI}{NK}=\dfrac{MI}{MO}=\dfrac{MI}{R}\)

Vì M,N lần lượt là điểm chính giữa cung AC,BC \(\Rightarrow\angle MON=90\)

\(\Rightarrow MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\)

Ta có: \(\dfrac{NI}{NK}+\dfrac{NI}{NO}=\dfrac{MI}{R}+\dfrac{NI}{R}=\dfrac{MI+NI}{R}=\dfrac{MN}{R}=\dfrac{\sqrt{2}R}{R}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow NI\left(\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\right)=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{NI}=\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\)

Do I là trực tâm của tam giác KAB nên K, I, H thẳng hàng.

Tứ giác AMIH nội tiếp nên \(\widehat{MHI}=\widehat{MAI}\).

Tương tự, \(\widehat{NHI}=\widehat{NBI}\).

Lại có \(\widehat{MAI}=\widehat{NBI}=90^o-\widehat{AKB}\) nên \(\widehat{MHI}=\widehat{NHI}\).

Vậy HK là phân giác của góc MHN.

a. Do ABCM là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AMx}=\widehat{ABC}\)

Lại do tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AMB}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Vậy nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMx}\) hay MA là phân giác góc \(\widehat{BMx}.\)

b. Do tam giác ABC cân tại A nên AI là phân giác góc BAC. Vậy thì cung BI = cung CI hay góc \(\widehat{BMI}=\widehat{IKC}\)

Từ đó suy ra \(\widehat{DMI}=\widehat{IKD}\) (Cùng phụ với hai góc trên)

Lại có do MD = MC \(\Rightarrow\widehat{MDK}=\widehat{MCK}=\widehat{MIK}\)

Tứ giác DMIK có các góc đối bằng nhau nên nó là hình bình hành.

c. Do MA là phân giác góc BMx nên MA thuộc đường phân giác góc DMC.

Lại có MD = MC nên MA chính là đường trung trực của DC.

Vậy thì DA = AC, hay D luôn thuộc đường tròn tâm A, bán kính AC.