Gọi d là ƯCLN(5n+7, 3n+4), d \(\in\)N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+7⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(5n+7\right)⋮d\\5\left(3n+4\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}15n+21⋮d\\15n+20⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(15n+21\right)-\left(15n+20\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(5n+7,3n+4\right)=1\)

\(\Rightarrow\) 5n+7 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(5n+1\right)⋮a\\\left(6n+1\right)⋮a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(30n+6\right)⋮a\\\left(30n+5\right)⋮a\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[\left(30n+6\right)-\left(30n+5\right)\right]⋮a\\ \Rightarrow1⋮a\\ \Rightarrow a=\pm1\)

Vậy 2 số trên là 2 số nguyên tố cùng nhau 

Ta có : k là ƯCLN của 7n + 10 và 5n + 7 
Vậy : 7n + 10 chia hết cho k ; 5n + 7 chia hết cho k 
Hay 5(7n + 10 ) và 7(5n + 7 ) 
      35n + 50 và 35n + 49 chia hết cho k 
=> ĐPCM 
Hai bài kia bạn làm tương tư nhé , chúc may mắn 

Đặt ƯCLN(5n+3,7n+4) = d

Ta có \(5n+3⋮d\Rightarrow7\left(5n+3\right)⋮d\Rightarrow35n+21⋮d\)

          \(7n+4⋮d\Rightarrow5\left(7n+4\right)⋮d\Rightarrow35n+20⋮d\)

\(\Rightarrow\left(35n+21\right)-\left(35n+20\right)⋮d\)

\(\Rightarrow35n+21-35n-20⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> ƯCLN(5n+3,7n+4) = 1

=> 5n+3 và 7n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau 

Gọi ƯCLN(4n+3;5n+4) là d 

 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(4n+3\right)⋮d\\4\left(5n+4\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{cases}}\) 

\(\Rightarrow20n+16-\left(20n+15\right)⋮d\) 

=> 1 \(⋮\)d

=> d=1 hay ƯCLN(4n+3;5n+4)=1

=> 4n+3 và 5n+4 là 2 số nguyên tố cùng nhay 

thanks so much

Đặt \(4n+3;5n+4=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(4n+3⋮d\Rightarrow20n+15⋮d\)

\(5n+4⋮d\Rightarrow20n+16⋮d\)

Suy ra : \(20n+16-20n-15⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm

Gọi ƯCLN của 3n+1 và 5n+2 là d(d thuộc N sao)

=> 3n+1 và 5n+2 đều chia hết cho d 

=> 2.(3n+1) và 5n+2 đều chia hết cho d 

=> 6n+2 và 5n+2 đều chia hết cho d

=> 6n+2-5n-2 chia hết cho d hay n chia hết cho d => 3n chia hết cho d

Mà 3n+1 chia hết cho d => 3n+1-3n chia hết cho d hay 1 chia hết cho d

=> d = 1 (vì d thuộc N sao)

=> 3n+1 và 5n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau (ĐPCM)

Bn đưa về 15n rồi tính!

1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.