d) Gọi F là giao điểm của BK và QC. Ta có O là trung điểm của BD và OQ // BK (gt) nên Q là trung điểm của DF.

Lại có QK // BD (gt); Q là trung điểm của DF ⇒ K là trung điểm của BF.

CK là trung tuyến của tam giác vuông BCF ⇒ CK = BK = BC/2.

Ta có QK là đường trung bình của tam giác

⇒ QK = BO = BD/2; QK // BO

⇒ Tứ giác OBKQ là hình bình hành

Mặt khác ∠(OBQ) = 90o ⇒ OBKQ là hình chữ nhật

⇒ ∠(OBK) = 90o

Xét ΔOCK và ΔOBK có

CK chung

OC = OB (tính chất đường chéo hình chéo hình chữ nhật)

CK = BK (cmt)

Vậy ΔOCK = ΔOBK (c.c.c) ⇒ ∠OCK = ∠OBK = 90o hay AC ⊥ CK.

Xét \(\Delta ABC\) có

\(MP\perp AB;BC\perp AB\)=> MP//BC \(\Rightarrow\frac{AP}{PB}=\frac{AM}{MC}\) (talet trong tam giác)

Xét \(\Delta ADC\)

\(MQ\perp AD;CD\perp AD\)=> MQ//CD \(\Rightarrow\frac{AQ}{QD}=\frac{AM}{MC}\) (talet trong tam giác)

\(\Rightarrow\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QD}\)

Xét \(\Delta ADB\) có

\(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QD}\) => PQ//BD (talet đảo trong tam giác)

http://olm.vn/hoi-dap/question/403903.html

http://olm.vn/hoi-dap/tag/Toan-lop-8.html

Ý (b) câu hỏi là gì vậy?

Ý b câu hỏi là : Chứng minh EF đi qua trung điểm của AB và CD

Câu (b) không cần dùng M, N, P, Q cho nên mình bỏ chúng đi để đỡ rối mắt.

Gọi X là giao điểm của EF và AB, Y là giao điểm của EF và CD.

- Xét \(\Delta EDY\) có: AX // DY => \(\frac{AX}{DY}=\frac{EX}{EY}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

- Xét \(\Delta ECY\) có: BX // CY => \(\frac{BX}{CY}=\frac{EX}{EY}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

Từ đó suy ra \(\frac{AX}{DY}=\frac{BX}{CY}\) (1)

- Xét \(\Delta FDY\) có: BX // DY => \(\frac{BX}{DY}=\frac{FX}{FY}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

- Xét \(\Delta FCY\) có: AX // CY => \(\frac{AX}{CY}=\frac{FX}{FY}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

Từ đó suy ra \(\frac{AX}{CY}=\frac{BX}{DY}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AX=BX,CY=DY\) (vì \(AX,BX,CY,DY>0\))

=> X là trung điểm của AB (đ/n), Y là trung điểm của CD (đ/n)

=> EF đi qua trung điểm của AB và CD (\(X,Y\in EF\)) (đpcm)