\(\text{Chứng minh rằng : Tổng }\)

\(S=1+2+3+...+n\left(n\in N\right)\)

\(\text{Không có chữ số tận cùng là }2\text{ ; }4\text{ ; }7\text{ ; }9\)

                                    \(\text{Bài giải}\)

\(\text{Ta có : }\)

\(\text{Số số hạng của tổng }S=\left(n-1\right)\text{ : }1+1=n\left(\text{số hạng}\right)\)

\(\text{Tổng của }S=\left(n+1\right)\text{ x }n\text{ : }2\)

             \(\Rightarrow\text{ }n+1\text{ là số chẵn hoặc số lẻ };\text{ }\Rightarrow\text{ }n\text{ là số chẵn hoặc số lẻ}\)

        \(\Rightarrow\text{ Tích }\left(n+1\right)n\text{ là tích của hai số tự nhiên liên tiếp .}\)

                          \(\Rightarrow\text{ Tích là số chẵn }\)

     \(\text{Còn nữa bạn tự suy nghĩ nha ! Sẽ ra liền mà ! Dài quá nên viết mỏi tay rồi ! Chúc bạn học tốt !}\)

A=(n+1)n:2

Mà n(n+1) tận cùng là 0,2,6

Nên A t/c khác 2,4,7,9 vì khi nhân 2 lên thì t/c là 4,8,4,8 khác với 0,2,6

Ta có công thức: \(A=1+2+...+n=\frac{\left(n+1\right).n}{2}\)

Mà n(n + 1) chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 2, 6 nên A chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 3, 5, 6, 8.

Vậy A không thể có tận cùng là chữ số 2, 4, 7, 9.

Tổng A có n số hạng nên

A= 1+ 2+ 3 +...+n = (n+1)xn : 2

lại có: nx(n+1) là tích 2 STN liên tiếp nên nx(n+1) chỉ có thể có tận cùng là 0, 2 hoặc 6

Vì thế nên (n+1)xn : 2 chỉ có thể có tận cùng là 0; 5; 1; 6; 3 hoặc 8

Vậy tổng A=1+2+...+n không thể có tận cùng là 2,4,7,9

Tổng A có n số hạng nên A= 1+ 2+ 3 +...+n = (n+1)xn : 2 lại có: nx(n+1) là tích 2 STN liên tiếp nên nx(n+1) chỉ có thể có tận cùng là 0, 2 hoặc 6 Vì thế nên (n+1)xn : 2 chỉ có thể có tận cùng là 0; 5; 1; 6; 3 hoặc 8 Vậy tổng A=1+2+...+n không thể có tận cùng là 2,4,7,9

Tổng A có n số hạng nên

A= 1+ 2+ 3 +...+n = (n+1)xn : 2

Lại có: nx(n+1) là tích 2 STN liên tiếp nên nx(n+1) chỉ có thể có tận cùng là 0, 2 hoặc 6

Vì thế nên (n+1)xn : 2 chỉ có thể có tận cùng là 0; 5; 1; 6; 3 hoặc 8

Vậy tổng A=1+2+...+n không thể có tận cùng là 2,4,7,9

a) Xét hiệu : \(n^5-n\)

Đặt : \(A\text{=}n^5-n\)

Ta có : \(A\text{=}n.\left(n^4-1\right)\text{=}n.\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right).\left(n^2+1\right)\)

Vì : \(n.\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp .

\(\Rightarrow A⋮2\)

Ta có : \(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(A\text{=}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n.\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\\5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\end{matrix}\right.\) vì tích ở trên là tích của 5 số liên tiếp nên chia hết cho 5.

Do đó : \(A⋮10\)

\(\Rightarrow A\) có chữ số tận cùng là 0.

Suy ra : đpcm.

b) Vì \(n⋮3̸\) nên n có dạng : \(3k+1hoặc3k+2\left(k\in N\right)\)

Với : n= 3k+1

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+6k+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Với : n=3k+2

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+12k+4\text{=}9k^2+12k+3+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Suy ra : đpcm.