Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\frac{m}{1}\ne\frac{1}{2}\Rightarrow2m\ne1\Rightarrow m\ne\frac{1}{2}\)

* Giải hệ theo m :

\(\hept{\begin{cases}mx+y=4\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2mx+2y=8\\x+2y=5\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2mx+x=3\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(2m+1\right)=3\\x+2y=5\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\x+2y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\\frac{3}{2m+1}+2y=5\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\2y=5-\frac{3}{2m+1}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\2y=\frac{10m-2}{2m+1}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2m+1}\\y=\frac{5m-1}{2m+1}\end{cases}}\)

Vì \(x>0\Rightarrow\frac{3}{2m+1}>0\Rightarrow2m+1>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Vì \(y>0\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}>0\)mà \(2m+1>0\Rightarrow5m-1>0\Rightarrow m>\frac{1}{5}\left(2\right)\)

Để \(y>x\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}>\frac{3}{2m+1}\)\(\Rightarrow\frac{5m-1}{2m+1}-\frac{3}{2m+1}>0\)

\(\Rightarrow\frac{5m-1-3}{2m+1}>0\Rightarrow\frac{5m-4}{2m+1}>0\)

Mà \(2m+1>0\Rightarrow5m-4>0\Rightarrow m>\frac{4}{5}\)

Từ ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow\)Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn y > x > 0 thì \(m>\frac{4}{5}\)

Giải xong muốn gãy tay :v

Theo định thức Grane : 

\(D=1-2m\), \(D_x=5-8=-3\), \(D_y=4-5m\)

Vì Dx khác 0 nên hệ luôn có hai nghiệm phân biệt : 

\(\hept{\begin{cases}x=\frac{D_x}{D}=-\frac{3}{1-2m}\\y=\frac{D_y}{D}=\frac{4-5m}{1-2m}\end{cases}}\)

Để x,y trái dấu thì xy < 0 \(\Leftrightarrow-\frac{3\left(4-5m\right)}{\left(1-2m\right)^2}< 0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne\frac{1}{2}\\4-5m>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne\frac{1}{2}\\m< \frac{4}{5}\end{cases}}\)