th1 nếu n là số lẻ thì suy ra n+3 là số lẻ còn n+6 là số chẵn 

ta có lẻ.chẵn=chẵn mà các số chẵn chia hết cho 2 Suy ra (n+3).(n+6) chia hết cho 2

th2 nếu n là số chẵn suy ra n+3 là số lẻ còn n+6 là số chẵn

ta có lẻ,chẵn=chẵn mà các số chẵn chia hết cho 2. Suy ra (n+3).(n+6) chia hết cho 2

Suy ra (n+3)(n+6) chia hết cho 2

th1 nếu n là số lẻ thì suy ra n+3 là số lẻ còn n+6 là số chẵn 
ta có lẻ.chẵn=chẵn mà các số chẵn chia hết cho 2 Suy ra (n+3).(n+6) chia hết cho 2
th2 nếu n là số chẵn suy ra n+3 là số lẻ còn n+6 là số chẵn
ta có lẻ,chẵn=chẵn mà các số chẵn chia hết cho 2. Suy ra (n+3).(n+6) chia hết cho 2
Suy ra (n+3)(n+6) chia hết cho 

:3

Xét n=0 => 62n+1 + 5n+2  = 31chia hết 31

Xét n=1 => 62n+1 + 5n+2  = 341 chia hết 31

Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 62k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 62k+3  + 5k+3

Ta có 62k+1 + 5k+2  = 36k .6+5k .25 chia hết 31

<=> 62k+3  + 5k+3 = 36k .216+5k .125

Xét hiệu : 62k+3  + 5k+3 − 62k+1  − 5k+2  = 36k .216+5k .125−36k .6−5k .25

= 36k .210+5k .100 = 36k .207+5k .93−7(36k−5k ) Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36k−5k  chia hết 36 - 5 = 31

=> 62n+3  + 5k+3  − 62k+1 − 5k+2  chia hết 31

. Mà 62k+1  + 5k+2  chia hết 31 nên 62k+3 + 5k+3  chia hết 31

Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm 

:D

Ta có: \(6^2\equiv5\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n}\equiv5^n\left(mod31\right)\)

\(6^{2n+1}\equiv6.5^n\left(mod31\right)\)

Lại có: 5\(5\equiv5\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow5^n\equiv5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow5^{n+2}\equiv25.5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}\equiv31.5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}⋮31\)

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

n^3-n=n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=>tồn tại 1 bội của 3 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

=>tồn tại ít nhất 1 bội của 2 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2

mà (2;3)=1=>n(n-1)(n+1)chia hết cho 6

hay n^3-n chia hết cho 6

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)

=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp

=>tồn tại 1 bội của 5 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 5

=>tồn tại ít nhất2 bội của 2 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2

mà (2;5)=1=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 10

n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=>tồn tại ít nhất 1 bội của 2 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2

=>5n(n-1)(n+1) chia hết cho 10

=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5(n-1)n(n+1)chia hết cho 10

hay n^5-n chia hết cho 10

Ta co n^2=n×n

Va ta co 

n×n+n+6 nên n ko chia het cho 5

Ban cho minh voi