a) 2n + 111...1 = 3n + (111..1 - n)

         n chữ số          n chữ số

Vì 1 số và tổng các chữ của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3 => 2n + 111...1 chia hết cho 3

b) 10ⁿ + 18n - 1

= 100...0 - 1 - 9n + 27n

 n chữ số 0

= 999...9 - 9n + 27

n chữ số 9

= 9.(111..1 - n) + 27n

    n chữ số 1

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

=> 9.(111...1 - n) chia hết cho 27; 27n chia hết cho 27

=> 10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27

c) 10ⁿ + 72n - 1

= 100...0 - 1 + 72n

n chữ số 1

= 999...9 - 9n + 81n

n chữ số 9

= 9.(111...1 - n) + 81n

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9 => 111...1 - n chia hết cho 9

Tiếp theo làm tương tự câu trên . 

vi no chia het cho 3 suy ra no chia het cho 3

a) 2n + 111...1 = 3n + (111..1 - n)

         n chữ số          n chữ số

Vì 1 số và tổng các chữ của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3 => 2n + 111...1 chia hết cho 3

b) 10n + 18n - 1

= 100...0 - 1 - 9n + 27n

 n chữ số 0

= 999...9 - 9n + 27

n chữ số 9

= 9.(111..1 - n) + 27n

    n chữ số 1

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

=> 9.(111...1 - n) chia hết cho 27; 27n chia hết cho 27

=> 10n + 18n - 1 chia hết cho 27

c) 10n + 72n - 1

= 100...0 - 1 + 72n

n chữ số 1

= 999...9 - 9n + 81n

n chữ số 9

= 9.(111...1 - n) + 81n

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9 => 111...1 - n chia hết cho 9

Tiếp theo làm tương tự câu trên . 

a) Ta có : A = 10²⁸ + 8 

                   = 100...0 + 8 (28 chữ số 0)

                   = 100...008 (27 chữ số 0)

Nhận xét: 10²⁸ + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 

lại có : Tổng của 3 chữ số này là : 0 + 0 + 8 = 8 => chia hết cho 8

=> 10²⁸ + 8 \(⋮\)8 (1)

Nhận xét : 10²⁸ + 8 = 100...008 (27 chữ số 0)

=> Tổng các chữ số của số trên là : 1 + 0 + 0 + .... + 0 + 0 + 8 = 9 \(⋮\)9 (27 số hạng 0) 

=> 10²⁸ + 8 \(⋮\)9(2)

Từ (1) và (2) ta có :

ƯCLN(8,9) = 1

=> 10²⁸ + 8 \(⋮\)BCNN(8,9) 

=> 10²⁸ + 8 \(⋮\)72

Ta có :

\(10^{28}+8=100...008\)(27 chữ số 0 )

Xét \(008⋮8\Rightarrow10^{28}+8⋮8\left(1\right)\)

Xét \(1+27\times0+8=9⋮9\Rightarrow10^{28}+8⋮9\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow10^{28}+8⋮72\)

Câu 1:

a) n+4 chia hết cho n

suy ra 4 chia hết cho n(vì n chia hết cho n)

suy ra n thuộc Ư(4) {1;2;4}

Vậy n {1;2;4}

b) 3n+7 chia hết cho n

suy ra 7 chia hết cho n(vì 3n chia hết cho n)

suy ra n thuộc Ư(7) {1;7}

Vậy n {1;7}

c) 27-5n chia hết cho n

suy ra 27 chia hết cho n(vì 5n chia hết cho n)

suy ra n thuộc Ư(27) {1;3;9;27}

Vậy n {1;3;9;27}

d) n+6 chia hết cho n+2 

suy ra (n+2)+4 chia hết cho n+2

suy ra 4 chia hết cho n+2(vì n+2 chia hết cho n+2)

suy ra n+2 thuộc Ư(4) {1;2;4}

n+2 bằng 1 (loại)

n+2 bằng 2 suy ra n bằng 0

n+2 bằng 4 suy ra n bằng 2

Vậy n {0;2}

e) 2n+3 chia hết cho n-2

suy ra 2(n-2)+7 chia hết cho n-2

suy ra 7 chia hết cho n-2(vì 2(n-2) chia hết cho n-2)

suy ra n-2 thuộc Ư(7) {1;7}

n-2 bằng 1 suy ra n bằng 3

n-2 bằng 7 suy ra n bằng 9

Vậy n {3;9}

Ta có: 27n - 27 chia hết cho 27 (1) 
10n - 9n - 1 = [( 9...9 + 1) - 9n - 1] = 9...9 - 9n = 9 (1...1 - n) chia hết cho 27 (2) 
Vì 9 chia hết cho 9 và 1...1 - n chia hết cho 3. Do 1...1 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và từ (1) và (2) => ( 10^n+18n-28 ) chia hết cho 27. 
Vậy ( 10^n+18n-28 ) chia hết cho 27.(đpcm) 
Hok tốt!!!