Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c< \sqrt{3}\)Tìm Max \(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
1. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc=1
Tìm GTLN:
A= \(\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{b}{a^4+c^4+b}+\frac{c}{a^4+b^4+c}\)
2. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc= a+b+c+2
Tìm max:
P= \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2}}\)
\(b^4+c^4-bc\left(b^2+c^2\right)=\left(b^2+bc+c^2\right)\left(b-c\right)^2\)
\(\Rightarrow b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)
Tương tự\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+b^4+c^4}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\)
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)=1\)
oke rồi he
@Nub :v
Áp dụng Bunhiacopski ta dễ có:
\(\frac{a}{b^4+c^4+a}=\frac{a\left(1+1+a^3\right)}{\left(b^4+c^4+a\right)\left(1+1+a^3\right)}\le\frac{a^4+2a}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{a^4+c^4+b}\le\frac{b^4+2b}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2};\frac{c}{a^4+b^4+c}\le\frac{c^4+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Cộng lại:
\(A\le\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Ta đi chứng minh:
\(\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\le1\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Cái này luôn đúng theo Cauchy
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
Cho a , b , c là các số thự dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
CMR \(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge6\)
\(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\ge2a+2b+2c\ge6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\)
1. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc=1
Tìm GTLN:
A= \(\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{b}{a^4+c^4+b}+\frac{c}{a^4+b^4+c}\)
2. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc= a+b+c+2
Tìm max:
P= \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2}}\)
Áp dụng AM - GM
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2ab}}+\frac{1}{\sqrt{2bc}}+\frac{1}{\sqrt{2ca}}\)
\(abc=a+b+c+2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)
Với mọi số thực x,y,z ta có ngay:
\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{y+z}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z+x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x+y}{z}}=1\)
Khi đó ta có thể đặt được \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{y+z}{x};\frac{z+x}{y};\frac{x+y}{z}\right)\)
Thay vào thì dễ có:
\(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy ...........................
cho a, b ,c >0 thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=3. Tìm Max P=\(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
Ta có \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}=\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Chứng minh tương tự, rồi cộng lại, ta có
A\(\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
^_^
Cho a b c dương thỏa mãn a+b+c=3 CMR
\(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Ta co:
\(\sqrt{2\left(b+1\right)}\le\frac{b+3}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{2\left(b+1\right)}}\ge\frac{2a}{b+3}\)
Tuong tu:\(\frac{b}{\sqrt{2\left(c+1\right)}}\ge\frac{2b}{c+3};\frac{c}{\sqrt{2\left(a+1\right)}}\ge\frac{2c}{a+3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\right)\ge2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\)
\(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\)
\(=\frac{a^2}{ab+3a}+\frac{b^2}{bc+3b}+\frac{c^2}{ca+3c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+9}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}=\frac{9}{\frac{9}{3}+9}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\ge\frac{3}{2}\)
Hay \(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=3\)
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn ab+ac+bc=1
CMR: P=\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{9}{4}\)
Ta có
\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)
\(\Leftrightarrow2a.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+b.\frac{1}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+c.\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\Leftrightarrow2a.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+2b.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right).4.\left(b+c\right)}}+2c.\frac{1}{\sqrt{\left(a+c\right).4.\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\)
\(=1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
sân trường của một trường THCS có dạng hình chũ nhật với chiều rộng là 50m chiều dài 72m nhà trường dự tính dùng 36% diện tích sân trường để trồng cây xanh phủ bóng mát biết mỗi một cây xanh chiếm một khoảng diện tích hình có cạnh là 4m hỏi trường THCS phải chuẩn bị tất cả bao nhiêu cây xanh ?
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) . CMR :
\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=\(\sqrt{3}\)
Chứng minh rằng \(\frac{a}{\sqrt{a^2}+1}+\frac{b}{\sqrt{b^2}+1}+\frac{c}{\sqrt{c^2}+1}\le\frac{3}{2}\)
Vì a,b,c là số thực dương nên \(\sqrt{a^2}=a;\sqrt{b^2}=b;\sqrt{c^2}\)=c. Vậy ta có
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)=\(\frac{a}{a+1}-1+\frac{b}{b+1}-1\)+\(\frac{c}{c+1}-1+3\)
=3-( \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)) =A
ta có bdt \(9\le\left(a+1+b+1+c+1\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)(dễ dàng chứng mình bằng bdt cosi).
=>\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\)\(\frac{9}{3+\sqrt{3}}\)=> A\(\le3-\frac{9}{3+\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}+1}\)
dấu = khi a=b=c=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
#Chuyên mục bất đẳng thức khởi động bước vào năm học mới#
Bài toán 41: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn\(a+b-c\ge0;b+c-a\ge0;c+a-b\ge0\)và \(\left(a+b+c\right)^2=4\left(ab+bc+ca-1\right)\)
Tìm GTNN của biểu thức \(S=\sqrt{\frac{a+b}{c}-1}+\sqrt{\frac{b+c}{a}-1}+\sqrt{\frac{c+a}{b}-1}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}\)
Bài toán 46: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn\(\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{\frac{ab}{c}}\)
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
Thay x=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0\) (không thỏa mãn vì c>0)Thay y=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0\)( không thỏa mãn vì c>0)Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c