A = \(\dfrac{x+7}{3x-1}\)  

A \(\in\) Z ⇔ \(x+7\) \(⋮\) 3\(x-1\)

         ⇔ 3 \(\times\)( \(x+7\)) \(⋮\)  3\(x\) - 1

         ⇔ 3\(x\) + 21 ⋮ 3\(x-1\)

        ⇔ 3\(x-1\) + 22 ⋮ 3\(x\) - 1

      ⇔ 22 ⋮ 3\(x\) - 1

      ⇔  3\(x\) - 1 \(\in\)  {  -22; -11; -2; -1; 1; 2; 11; 22}

       ⇔      \(x\) \(\in\) { -7; -10/3; -1/3; 0; 2/3; 1; 4; 23/3}

            Vì \(x\) \(\in\) Z nên \(x\) { -7; 0; 1; 4}

1 Giải :

\(\frac{3x+7}{x-1}\)là phân số <=> x - 1 \(\ne\)0 => x \(\ne\)1

Ta có : \(\frac{3x+7}{x-1}=\frac{3\left(x-1\right)+8}{x-1}=3+\frac{8}{x-1}\)

Để \(\frac{3x+7}{x-1}\)là số nguyên thì 8 \(⋮\)x - 1 => x - 1 \(\in\)Ư(1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8}

Lập bảng :

Vậy x \(\in\){2; 0; 3; -1; 5; -3; 9; -7} thì \(\frac{3x+7}{x-1}\)là số nguyên

Đặt \(A=\frac{3x+7}{x-1}\)

Ta có: \(A=\frac{3x+7}{x-1}=\frac{3x-3+10}{x-1}=\frac{3x-3}{x-1}+\frac{10}{x-1}=3+\frac{10}{x-1}\)

Để \(A\in Z\)thì \(\frac{10}{x-1}\in Z\Rightarrow10⋮x-1\Leftrightarrow x-1\in U\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\) 

Ta có bảng sau:

Vậy, với \(x\in\left\{-9;-4;-1;0;2;3;6;11\right\}\)thì \(A=\frac{3x+7}{x-1}\in Z\)

a, Ta có: \(-\left(x+1\right)^{2008}\le0\)

\(\Rightarrow P=2010-\left(x+1\right)^{2008}\le2010\)

Dấu " = " khi \(\left(x+1\right)^{2008}=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(MAX_P=2010\Leftrightarrow x=-1\)

đề bài bị lỗi :(

E=(3x²-x+3):(3x+2)=(x-1)+\(\frac{5}{3x+2}\) 

\(E\varepsilon Z\Leftrightarrow5⋮\left(3x+2\right)\)\(\Leftrightarrow3x+2=Ư\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

*\(3x+2=-5\Leftrightarrow x=\frac{-7}{3}\)

*\(3x+2=-1\Leftrightarrow x=-1\)

*\(3x+2=1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{3}\)

*\(3x+2=5\Leftrightarrow x=1\)

\(E=\frac{3x^2-x+3}{3x+2}=\frac{3x^2+2x-3x-2+5}{3x+2}=\frac{x\left(3x+2\right)-\left(3x+2\right)+5}{3x+2}\)

\(=\frac{\left(x-1\right)\left(3x+2\right)+5}{3x+2}=x-1+\frac{5}{3x+2}\)

E nguyên khi x nguyên và \(\frac{5}{3x+2}\) nguyên => 5 chia hết cho 3x+2

<=>\(3x+2\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\Leftrightarrow3x\in\left\{-7;-3;-1;3\right\}\)

<=>\(x\in\left\{-\frac{7}{3};-1;-\frac{1}{3};1\right\}\)

vì x nguyên nên x=-1 hoặc x=1

cái này chẳng cần phải tách , nhóm hạn từ như Trà My chỉ cần chia hai đa thức cùng biến đã sắp xếp

\(\frac{5-2x}{x+1}=\frac{-2-2x+7}{x+1}=\frac{-2\left(x+1\right)+7}{x+1}=-2+\frac{7}{x+1}\)

Để biểu  thức nguyên khi và chỉ khi 

 7 chai hết cho x + 1 

=> x + 1 thuộc ước của 7 là :( 1 ;-1;7;-7)

=> x thuộc(0 ; -2;6;-8 )

a,ĐK:  \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne\pm3\end{cases}}\)

b, \(A=\left(\frac{9}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{x+3}\right):\left(\frac{x-3}{x\left(x+3\right)}-\frac{x}{3\left(x+3\right)}\right)\)

\(=\frac{9+x\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}:\frac{3\left(x-3\right)-x^2}{3x\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{x^2-3x+9}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}.\frac{3x\left(x+3\right)}{-x^2+3x-9}=\frac{-3}{x-3}\)

c, Với x = 4 thỏa mãn ĐKXĐ thì

\(A=\frac{-3}{4-3}=-3\)

d, \(A\in Z\Rightarrow-3⋮\left(x-3\right)\)

\(\Rightarrow x-3\inƯ\left(-3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\Rightarrow x\in\left\{0;2;4;6\right\}\)

Mà \(x\ne0\Rightarrow x\in\left\{2;4;6\right\}\)