cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\). CMR: a)\(\frac{4a+9b}{7a-6b}\)=\(\frac{4c+9d}{7c-6d}\)
b)\(\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{\left(b+d\right)^2}{b^2-d^2}\)
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), chứng minh rằng:
\(a.\frac{4a+9b}{7a-6b}=\frac{4c-9d}{7c-6d}\)
\(b.\frac{a^2}{b^2}=\frac{ac}{bd}=\frac{c^2}{d^2}\)
\(c.\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{\left(b+d\right)^2}{b^2-d^2}\)
Cho tỷ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Chứng minh rằng:
\(\frac{4a+9b}{7a-6b}=\frac{4c+9d}{7c-6d}\)
Ta có a = bk
c = dk
=> \(\frac{4a+9b}{7a-6b}\)=\(\frac{4bk+9b}{7bk-6b}\)=\(\frac{b.\left(4k+9\right)}{b.\left(7k-6\right)}\)=\(\frac{4k+9}{7k-6}\)
\(\frac{4c+9d}{7c-6d}\)=\(\frac{4dk+9d}{7dk-6d}\)=\(\frac{d.\left(4k+9\right)}{d.\left(7k-6\right)}\)=\(\frac{4k+9}{7k-6}\)
=> \(\frac{4a+9b}{7a-6b}\)=\(\frac{4c+9d}{7c-6d}\)
Cho \(\frac{a}{b}\)= \(\frac{c}{d}\). Chứng minh:
a) \(\frac{a}{a+b}\)= \(\frac{c}{c+d}\)
b) \(\frac{4a+9b}{7a-6b}\)=\(\frac{4c+9d}{7c-6d}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{bk}{bk+b}=\frac{dk}{dk+d}\)
Xét VT \(\frac{bk}{bk+b}=\frac{bk}{b\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\left(1\right)\)
Xét VP \(\frac{dk}{dk+d}=\frac{dk}{d\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có VT=VP -->Đpcm
b)Tiếp tục đặt như phần a ta xét VT:
\(\frac{4bk+9b}{7bk-6b}=\frac{b\left(4k+9\right)}{b\left(7k-6\right)}=\frac{4k+9}{7k-6}\left(1\right)\)
Xét VP \(\frac{4dk+9d}{7dk-6d}=\frac{d\left(4k+9\right)}{d\left(7k-6\right)}=\frac{4k+9}{7k-6}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có :VT=VP -->Đpcm
Đặt k rồi thay vào từng cái một là ra
Cho tỉ lệ thức a/b=c/d CMR :
a) \(\frac{7a+8b}{7a-8b}=\frac{7c+8d}{7c-8d}\)
b) \(\frac{11a-5b}{3a+4b}=\frac{11c-5d}{3c+4d}\)
c) \(\frac{a.b}{c.d}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
d) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
e) \(\frac{ab}{cd}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
help me 3 l-i-k-e
cho a;b;c>0 thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3.\)CMR:
\(\frac{27a^2}{c\left(c^2+9a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(4a^2+b^2\right)}+\frac{8c^2}{b\left(9b^2+4c^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x\); \(\frac{2}{b}=y;\frac{3}{c}=z\)
=>VT = \(\frac{z^3}{x^2+z^2}+\frac{x^3}{y^2+x^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}\)
Ta có \(\frac{z^3}{x^2+z^2}=z-\frac{x^2z}{x^2+z^2}\ge z-\frac{x^2z}{2xz}=z-\frac{x}{2}\)
CMTT:
=> VT \(\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\). Dấu = khi a=1; b=2; z=3
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)Chứng minh:
a)\(\frac{\left(20a^{2006}+11b^{2006}\right)^{2007}}{\left(20a^{2007}-11b^{2007}\right)^{2006}^{ }}=\frac{\left(20c^{2006}+11d^{2006}\right)^{2007}}{\left(20c^{2007}-11d^{2007}\right)^{2006}}\)
b)\(\left(4a+5b\right)\left(7c-11d\right)=\left(7a-11b\right)\left(4c+5d\right)\)
cho a,b,c dương tm \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=\) \(3\)
cmr \(\frac{27a^2}{c\left(c^2+9a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(4a^2+b^2\right)}+\frac{8c^2}{b\left(9b^2+4c^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Thôi làm luôn ( ͡° ͜ʖ ͡°)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{3}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x,y,z>0\end{cases}}\)
Và \(BDT\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=1;b=2;c=3\)
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\).Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa).
a,\(\frac{4a-3b}{a}\)=\(\frac{4c-3d}{c}\)
b,\(\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)=\(\frac{3a^2+2b^2}{3c^2+2d^2}\)
Giúp mình với mình đang cần gấp
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
ta có : \(\frac{4a-3b}{a}=\frac{4bk-3b}{bk}=\frac{b\left(4k-3\right)}{bk}=\frac{4k-3}{k}\)
\(\frac{4c-3d}{c}=\frac{4dk-3d}{dk}=\frac{d\left(4k-3\right)}{dk}=\frac{4k-3}{k}\)
\(\Rightarrow\frac{4a-3b}{a}=\frac{4c-3d}{c}\)
Cho 3 số thực a,b,c dương thoả mãn \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3\) . Chứng minh:
\(\frac{27a^2}{c\left(c^2+9a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(4a^2+b^2\right)}+\frac{8c^2}{b\left(9b^2+4c^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Bạn có thể tham khảo cách này
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=x\\\frac{2}{b}=y\\\frac{3}{c}=z\end{cases}}\Rightarrow x+y+z=3\)
BĐT thành \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\left(1\right)\)
ta sẽ dùng Bđt Cói \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại
\(\left(1\right)\ge x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{2}{b}\\z=\frac{3}{c}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=3\end{cases}}\)
Khi đó ta có BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(P=\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2}\)
Ta cũng có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x\)
\(\ge3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\)
\(\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\le x^2+y^2+z^2\)
Chứng minh tương tự ta có: \(xy^2+yz^2+zx^2\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=z\)hay\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\b=3\end{cases}}\)