Bài 1: Cho a, b, c\(\inℕ^∗\)và S =\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của S
Bài 2: Chứng minh rằng : A =\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{49^2}+\frac{1}{50^2}>\frac{1}{4}\)
Bài 1 :
Ta có : \(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Ta chứng minh BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Thật vậy : BĐT \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) ( đúng )
Vậy \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Áp dụng vào bài toán ta có : \(S\ge2+2+2=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy min \(S=6\) tại \(a=b=c\)
Bài 1 Tìm x biết :
a)\(2^{x+2}.3^{x+1}5^x=10800\)
b) \(3^{x+2}-3^x=24\)
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(A=\frac{2.\left|7x+5\right|+11}{\left|7x+5\right|+4}\)
Bài 3 :
a) cho \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)chứng minh : \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)
b) Tìm x để biểu thức sau nguyên \(\frac{5}{\sqrt{2x+1}+2}\)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B= |x-1| + |x-2017|
d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A= |x-2018| - |x-2017|
AI LÀM ĐƯỢC CÂU NÀO THÌ GIÚP MÌNH VỚI
1. a, \(2^{x+2}.3^{x+1}.5^x=10800\)
\(2^x.2^2.3^x.3.5^x=10800\)
\(\Rightarrow\left(2.3.5\right)^x.12=10800\)
\(\Rightarrow30^x=\frac{10800}{12}=900\)
\(\Rightarrow30^x=30^2\)
\(\Rightarrow x=2\)
b,\(3^{x+2}-3^x=24\)
\(\Rightarrow3^x\left(3^2-1\right)=24\)
\(\Rightarrow3^x.8=24\)\(\Rightarrow3^x=3^1\Rightarrow x=1\)
2, c, Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
Dấu bằng xảy ra khi \(ab\ge0\)
Ta có: \(\left|x-2017\right|=\left|2017-x\right|\)
\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|2017-x\right|\ge\left|x-1+2017-x\right|\)\(=\left|2016\right|=2016\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(x-1\right)\left(2017-x\right)\ge0\)\(\Rightarrow2017\ge x\ge1\)
Vậy \(Min_{BT}=2016\)khi \(2017\ge x\ge1\)
d, Áp dụng BĐT \(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\forall a,b\inℝ\)
Dấu bằng xảy ra khi \(b\left(a-b\right)\ge0\)
Ta có \(B=\left|x-2018\right|-\left|x-2017\right|\le\left|x-2018-x+2017\right|\)
\(\Rightarrow B\le1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(x-2017\right)\left[\left(x-2018\right)-\left(x-2017\right)\right]\ge0\)
\(\Rightarrow x\le2017\)
Vậy \(Max_B=1\) khi \(x\le2017\)
để BT \(\frac{5}{\sqrt{2x+1}+2}\) nguyên thì \(\sqrt{2x+1}+2\inƯ\left(5\right)\)
suy ra \(\sqrt{2x+1}+2\in\left\{-5;-1;1;5\right\}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+1}\in\left\{-7;-3;-1;3\right\}\)
Mà \(\sqrt{2x+1}\ge0\) nên \(\sqrt{2x+1}\)chỉ có thể bằng 3
\(\Rightarrow2x+1=9\Rightarrow x=4\)( thỏa mãn điều kiện \(x\ge-\frac{1}{2}\))
Đây là cách lớp 9. Mk đang phân vân ko biết giải theo cách lớp 7 thế nào!!!!
Bất đăng thức:
a) Cho a, b > 0 và a + b \(\le\)1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{2ab}+4ab+2\)
b) Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
Bất đẳng thức:
a) Cho a, b > 0 và a + b $\le$≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{2ab}+4ab+2\)
b) Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)<2
2. Chứng minh rằng : x5 + y5 ≥ x4y + xy4 với x, y ≠ 0 và x + y ≥ 0
3. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa nãm đẳng thức : \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{c+b-a}{c}\)
Tính : \(P=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc}\)
4. Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc.
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
\(\frac{a^5}{\left(b^3+c^2\right)}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\)
1/ Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thoẳ mãn điều kiện:\( \frac{a+b-c}{c}\) =\(\frac{b+c-a}{a}\) =\(\frac{c+a-b}{b}\)
Hãy tính giá trị biểu thức B=(1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)
2/ Ba lớp 7A,7B,7C cùng mua mốt số gói tawmm từ thiện, lúc đầu số gói tăm định chia cho 3 lớp tỉ lệ 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có 1 lớp nhận hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà 3 lớp đã mua
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= |2x-2|+|2x-2013| với x là số nguyên
4/ cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. chứng minh rằng:
2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2
5/ Cho 3 số dương 0<=a<=b<=c<=1 chứng minh rằng:
\(\frac{a}{bc+1}\) + \(\frac{b}{ac+1}\) + \(\frac{c}{ab+1}\) <=2
GIÚP ZỚI MÌNH SẮP THI HSG
Bạn nào học qua rồi thì giải hộ tớ bài này với.
1.Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)<=abc
2.Cho a, b, c>0 thoả mãn ab+bc+ca=1.
Tim min M = \(\frac{3a^2b^2+1}{c^2+1}+\frac{3b^2c^2+1}{a^2+1}+\frac{3c^2a^2+1}{b^2+1}\)
3.Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=3.
Tìm min N = \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\)
4.Cho a, b, c>0 thoả mãn abc=1
Chứng minh: \(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ac}<=1\)
cho a,b,c la các số thực dương thoả mãn 2(a+b)+b=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= \(\frac{1}{\left(a+3\right)^2}+\frac{4}{\left(b+4\right)^2}+\frac{8}{\left(c+5\right)^2}\)
