Xem ở Đường trung bình – Wikipedia tiếng Việt

mk có tội lỗi chi đâu mà phải chứng minh

Gọi M là trung điểm của cạnh AC .

Xét tam giác ABC ta có :

\(\hept{\begin{cases}NA=NC\left(gt\right)\\IB=IC\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}\)   NI là đường trung bình của tam giác ABC  

\(\Rightarrow NI=\frac{1}{2}AB\) ( tính chất đường trung bình)  (1)

Xét tam giác ACD ta có :

\(\hept{\begin{cases}NA=NC\left(gt\right)\\KA=KD\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}KN\)là đường trung bình của tam giác ACD

\(\Rightarrow KN=\frac{1}{2}CD\) ( Tính chất đường TB )   (2)

Từ (1) và (2)

=> N ; I ; K thẳng hàng  ( tiên đề Ơ-cơ-lít)

Vì \(IK=NK-NI\)

\(\Rightarrow IK=\frac{CD-AB}{2}\)   (đpcm)

Hình thang ABCD có AB//CD, AB<CD, E, F lần lượt là trg điểm của AC, BD
Kéo dài EF cắt DC tại I
Tam giác ABF=IDF(gcg)~> F là trg điểm của AI và AB=DI~> EF=1/2 IC và DC-AB=IC~> đpcm

EF sai cắt DC tại I ,EF//DC mà

b) Ta có: DE//BC ( BDCE là hình thang )

      => DI, IE//BC

    Ta có: DI//BC (cmt)

      => Góc CBI = góc DIB ( cặp góc so le trong )

    Mà góc DBI = góc CBI ( BI là tia phân giác của góc B)

      => Góc DIB = góc DBI 

      => DB = DI ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện) (1)

    Ta có: IE//BC ( đã cm ở đầu bài)

      => Góc EIC = góc BCI ( cặp góc so le trong)

     Mà góc ECI = góc BCI (CI là tia phân giác của góc C)

      => Góc EIC = góc ECI

      => EI = EC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện) (2)

   Từ (1) và (2) => DE = DB + EC

      => Đáy DE trong hình thang BDEC bằng tổng 2 cạnh bên.

Đề bài minh hoạ:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh {\displaystyle NA=NC}.

Chứng minh định lý:

Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): {\displaystyle MF=NC} (1)

Xét hai tam giác BMF và MAN, có: {\displaystyle {\widehat {\rm {MBF}}}={\widehat {\rm {AMN}}}} (hai góc đồng vị), {\displaystyle BM=MA} và {\displaystyle {\widehat {\rm {BMF}}}={\widehat {\rm {MAN}}}} (hai góc đồng vị). Suy ra {\displaystyle \triangle BMF=\triangle MAN} (trường hợp góc - cạnh - góc), từ đó suy ra {\displaystyle MF=AN} (2)

Từ (1) và (2) suy ra {\displaystyle NA=NC}. Định lý được chứng minh.

Định lý 2

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy.^[2]

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm cạnh AC ({\displaystyle MA=MB} và {\displaystyle NA=NC}). Chứng minh {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}} và {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}.

Chứng minh định lý:

Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF có độ dài bằng MN. Nhận thấy: {\displaystyle \triangle ANM=\triangle CNF} (trường hợp cạnh - góc - cạnh)

suy ra {\displaystyle {\widehat {\rm {MAN}}}={\widehat {\rm {NCF}}}}. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}} hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}, suy ra {\displaystyle CF=MB} (vì {\displaystyle MA=MB}). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và FC vừa song song, vừa bằng nhau nên BMFC là hinh binh hanh, suy ra {\displaystyle {\overline {MF}}\parallel {\overline {BC}}} hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}. Mặt khác, {\displaystyle MN=NF={\frac {1}{2}}MF}, mà {\displaystyle MF=BC} (tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}. Định lý được chứng minh.

D/L: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

ta lay vd 1 de bai de chung minh:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh {\displaystyle NA=NC}

ta chung minh dinh ly

Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): {\displaystyle MF=NC} (1)

Xét hai tam giác BMF và MAN, có: {\displaystyle {\widehat {\rm {MBF}}}={\widehat {\rm {AMN}}}} (hai góc đồng vị), {\displaystyle BM=MA} và {\displaystyle {\widehat {\rm {BMF}}}={\widehat {\rm {MAN}}}} (hai góc đồng vị). Suy ra {\displaystyle \triangle BMF=\triangle MAN} (trường hợp góc - cạnh - góc), từ đó suy ra {\displaystyle MF=AN} (2)

Từ (1) và (2) suy ra {\displaystyle NA=NC}. ( dieu phai chung minh )

D/L : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy

VD : Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm cạnh AC ( và ). Chứng minh  và 

chung minh dinh li

Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF có độ dài bằng MN. Nhận thấy: {\displaystyle \triangle ANM=\triangle CNF} (trường hợp cạnh - góc - cạnh)

suy ra {\displaystyle {\widehat {\rm {MAN}}}={\widehat {\rm {NCF}}}}. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}} hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}, suy ra {\displaystyle CF=MB} (vì {\displaystyle MA=MB}). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và FC vừa song song, vừa bằng nhau nên BMFC là hình bình hành, suy ra {\displaystyle {\overline {MF}}\parallel {\overline {BC}}} hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}. Mặt khác, {\displaystyle MN=NF={\frac {1}{2}}MF}, mà {\displaystyle MF=BC} (tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}