Giải:

\(S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)

\(\Leftrightarrow S=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac+ac+2bd-bd\)

\(\Leftrightarrow S=a^2-2ac+c^2+b^2+2bd+d^2+ac-bd\)

\(\Leftrightarrow S=\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2+2bd+d^2\right)-\left(ac-bd\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\left(a-c\right)^2+\left(b+d\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow S\ge-1\)

\(\Leftrightarrow S\ge\sqrt{3}\left(\sqrt{3}>1\right)\)

Vậy ...

bạn xem ở đây

mà đề cho (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) thì phải liên tưởng đến (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) để đưa vào bất đẳng thức. Vậy phải xuất phát từ biểu thức này và biến đổi theo một cách nào đó cho nó xuất hiện giả thiết là : ad - bc = 1. Ở đây là thêm và bớt 2abcd 
Ta có: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd + 2abcd = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 
Thay: ad - bc = 1 => 1 + (ac + bd)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) 
Áp dụng BĐT Cauchy: 
(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] 
=> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd 
Do đó chỉ cần CM: 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd ≥ √3 
<=> 2 √[1 + (ac + bd)^2] + ac + bd ≥ √3 
Đặt ac + bd = x và p = 2√(1 + x^2) + x 
Ta có IxI = √(x^2) < 2√(1 + x^2) ; mà IxI ≥ -x => p > 0 
Xét: p^2 = 4(1 + x)^2 + 4x√(1 + x^2) + x^2 = (1 + x^2) + 4x√(1 + x^2) + 4x^2 + 3 
= [√(1 + x^2) + 2x]^2 + 3 ≥ 3 => p^2 ≥ 3 => p ≥ √3 
=> S ≥ √3 
b/ Dấu đẳng thức xảy ra khi a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và √(1 + x^2) + 2x = 0 => x = -1/√3 
Khi đó có: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và ac + bd = -1/√3 và ad - bc = 1 
Theo biến đổi ở đầu bài thì (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 = 1 + 1/3 = 4/3 
Do đó: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2/√3 
Ta có: (a + c)^2 + (b + d)^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 + 2ac + 2bd = 2. 2/√3 + 2.(-1/√3) = 2/√3 
vậy: (a + c)^2 + (b + d)^2 = 2/√3

Học chi cho lắm cx bằng nhau à

BĐT cần c/m tương đương:

\(2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{4+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\)

Dễ dàng chứng minh điều này bằng AM-GM:

\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1+d^3+d^3+1\ge3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+4\ge12\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\) (1)

Lại có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c+d\le4\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge16\ge4+3.4\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\) (đpcm)

(a+b+c+d)2\(\ge\frac{8}{3}\)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

<=>(a+b)²+2(a+b)(c+d)+(c+d)²\(\ge\).....

<=>a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\(\ge\)....

<=>3a²+3b²+3c²+3d²+6(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\(\ge\)8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

<=> 3a²+3b²+3c²+3d²-2ab -2ac-2bc-2ad-2bd-2cd\(\ge\)0

<=> (a²-2ab+b²)+(a²-ac+c²)+(a²-2ad+d²)+(b²-2bc+c²)+(b²-2bd+d²)+(c²-2cd+d²)>=0

<=> (a-b)²+(a-c)²+(a-d)²+(b-c)²+(b-d)²+(c-d)²>=0 (DPCM)

Dau ''='' xay ra khi a=b=c=d

lm đc phần a là ra b, dùng dấu = xảy ra khi ...

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}=1\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

1. 

\(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

Thay ad-bc=1 \(\Rightarrow1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

Áp dụng bđt Cosi : 

\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\)

Do đó chỉ cần chứng minh \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\ge\sqrt{3}\) hay \(2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}+ac+bd\ge\sqrt{3}\)

Đặt \(ac+bd=x\) và \(y=2\sqrt{1+x^2}+x\)

Ta có ; \(\left|x\right|=\sqrt{x^2}< 2\sqrt{1+x^2}\) mà \(\left|x\right|\ge-x\Rightarrow y>0\)

Xét : \(y^2=4\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+x^2=\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+4x^2+3\)

\(=\left(\sqrt{1+x^2}+2x\right)^2+3\ge3\)\(\Rightarrow y^2\ge3\Rightarrow y\ge\sqrt{3}\)

Suy ra \(M\ge\sqrt{3}\)(đpcm)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}=1\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)