(a - b)² >= 0 (bình phương của một số luôn >=0)

=> a² + b² >= 2ab   (dấu = xảy ra khi a = b)  (1)

Tương tự:

    b² + c² >= 2bc    (2)

    c² + a² >= 2ac     (3)

Cộng vế với vế của (1),(2),(3) ta có:

  2 (a² + b² + c²) >= 2 (ab + bc + ca)

   (a² + b² + c²) >= 2 (ab + bc + ca)

Dấu bằng chỉ khi a = b = c

a^2 + b^2 + c^2 = ab+ ac + bc => 2( a^2 + b^2 + c^2) = 2( ab+ ac + bc)

=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 =0

vì (a-b)^2>= 0 (b-c)^2 >= 0 ( c-a)^2>=0

=> a-b =0 ; b-c=0; c-a=0 ( dùng dấu ngoặc nhọn nhá)

=> a=b b=c c=a hay a=b=c

a^2 + b^2 + c^2 = ab+ ac + bc => 2( a^2 + b^2 + c^2) = 2( ab+ ac + bc)

=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 =0

vì (a-b)^2>= 0 (b-c)^2 >= 0 ( c-a)^2>=0

=> a-b =0 ; b-c=0; c-a=0 ( dùng dấu ngoặc nhọn nhá)

=> a=b b=c c=a hay a=b=c

TK

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+6abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

Đây là BĐT Schur bậc 3, cách chứng minh nó có thể tìm thấy ở mọi nơi

\(a\text{) }\)Áp dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a, b > 0). Dấu "=" xảy ra khi a = b.

\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)

\(=6\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{27}{8}\left(a+b\right)+\frac{27}{8}\left(a+b\right)\right]-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(\ge6.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}.\frac{27}{8}\left(a+b\right).\frac{27}{8}\left(a+b\right)}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{bc}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(b+c\right)\)

\(\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{ca}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng theo vế ta được 

\(A\ge3.\frac{81}{2}-81\left(a+b+c\right)=3.\frac{81}{2}-81=\frac{81}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{81}{2}.\)

\(\frac{1}{\left(b-c\right)\left(a^2+ac-b^2-bc\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(b^2+ab-c^2-ac\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(c^2+bc-a^2-ab\right)}\)

\(=\frac{c-a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}+\frac{a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}\)

\(+\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}\)

\(=0\)

Ta có (a-b)²≥0 nên a²+b²≥2ab, tương tự b²+c²≥2bc, c²+a²≥2ca, cộng vế với vế rồi chia 2 2 vế ta có a²+b²+c²≥ab+bc+ca

a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b>c → c(a+b)>c², tương tự b(a+c)>b², a(b+c)>a², cộng vế với vế ta có 2(ab+bc+ca)>a²+b²+c²

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm a^2 + b^2 + c^2 là ra nha bạn

o0o Nguyễn Việt Hiếu o0o =)) người ta đã ko bt , m ko chỉ còn câu câu trả lời ...... cạn lời