Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
Giups
Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
Bạn theo đường link này là ra
https://olm.vn/hoi-dap/question/1043868.html
P/s hok tốt
chứng minh bất đẳng thức sau:
a, \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\) với a>0,b>0, a khác b
b, \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\) ≥ \(\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
a/ Bình phương 2 vế:
\(\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\le\frac{a+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ Bình phương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Với a; b không âm . chứng minh : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)
Áp dụng BĐT cô si
=> \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
=> \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\) (1)
CM \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\) \(a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
XH : \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\)
= \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=\sqrt{ab}\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\)
= \(\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\) Với mọi a ; b > 0
Tự Cm tiếp nha
Chứng minh bất đẳng thức : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(a,b\notin R^-\right)\)
ta có:\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b
Cho A bằng 34x89y
tìm x y biết:
A chia hết cho 4 chia hết cho 3 chia 2 dư1 chia 5 dư 4
tích đúng cho ai hợp lý
\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)
\(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2>=2\sqrt{ab}\)
\(\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ab}+\left(\sqrt{b}\right)^2>=0\)
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)luôn đúng
<=>\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)
k giúp mình nhé
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
\(\frac{\left(a+b\right)}{2}^{^2}+\frac{a+b}{4}=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
với a,b>0
Mình chỉ thấy duy nhất cái đẳng thức.
chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương:
1) cho a,b>0 chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
2) cho \(a\ge b\ge1\)chứng minh \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
3) \(\frac{a^2}{4}-a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2\ge0\)
4)chứng minh nếu \(a+b\ge1\) thì \(a^3+b^3\ge\frac{1}{4}\)
Cho 3 số thực \(a,b,c\ge0\). Chứng minh bất đẳng thức sau đây:
\(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{1+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}}\)
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
BĐT trên chỉ đúng với ab=>1 mà lm gì có ở đề
1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)
2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)
3/ Chứng minh
a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c dương)
b) \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) (với a, b, c dương)
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
Cho 2 số a,b không âm . Chứng minh:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ( Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
áp dụng BĐT cô-si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)\(\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{4}}=2\frac{\sqrt{ab}}{2}=\sqrt{ab}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=0 hoặc a=b=1
Đề yêu cầu chứng minh bất đẳng thức Côsi chứ không phải áp dụng nó!
Biến đổi tương đương bình thường thôi:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng. Một cách trình bày khác là ghi ngược từ cuối lên đầu!
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\Leftrightarrow a=b\)