Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+y=\sqrt{10}\)
Tiamf giá trị cuẩ x,y để \(A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\) đạt GTNN . Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Gỉa sử x,y là các số dương thỏa mãn đẳng thức x+y=\(\sqrt{10}\). Tìm giá trị của x và y để biểu thức P=\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
TK: Tìm Min (x^4 + 1) (y^4 + 1) với x + y = căn10 ; x , y > 0 - Thanh Truc
Giả sử x,y là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức: \(x+y=\sqrt{10}\)
Tính giá trị của x và y để biểu thức:
\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài này làm phức tạp nên để khi khác làm
Giả sử x ; y là các số dương thỏa mãn đẳng thức \(x+y=\sqrt{10}\). Tìm giá trị của x và y để biểu thức
\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
Ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=10-2xy\)
\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2=100-40xy+2x^2y^2\)
\(\Rightarrow P=\left(xy\right)^4+101-40xy+2x^2y^2\)
\(=\left[\left(xy\right)^4-8\left(xy\right)^2+16\right]+10\left[\left(xy\right)^2-4xy+4\right]+45\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\)
\(\Rightarrow P\ge45\)
Dấu "=" xảy ra khi xy=2
Lại có \(x+y=\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{10}-y\Rightarrow xy=\sqrt{10}y-y^2=2\)
\(\Rightarrow y^2-\sqrt{10y}+2=0\)
Ta có \(\Delta=10-8=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
cho x;y là các số thực dương thỏa mãn \(x+y=\sqrt{10}.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)
\(A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)
\(=\left[10-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)
\(=2x^2y^2+x^4y^4-40xy+101\)
\(=\left(x^4y^4-8x^2y^2+16\right)+10\left(x^2y^2-4xy+4\right)+45\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{10}\\xy=2\end{cases}}\)
\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
mà \(^{x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=5}\)
=>\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge25\)
giả sử x,y là số dương thõa mãn đẳng thức: \(x+y=\sqrt{10}\). Tìm gia trị của x và y để biểu thức: P=\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Bài này nhiều bạn đăng rồi, vô lục câu hỏi của CTV Lê Tài Bảo Châu đó, kéo xuống là thấy.
Anh tth trước chỉ em SOS kiểu này nè:)
\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)
\(=x^4+y^4+x^4y^4+1\)
\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)
\(=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)
\(=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=-\frac{5}{\sqrt{2}};y=-\frac{5}{2\sqrt{2}}\)
Chắc anh tth bày ko sai đâu !
cho x, y là hai số thực thỏa mãn (x - 4)2 + (y - 3)2 = 5 và biểu thức
Q=\(\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm P = x + y
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-4=a\\y-3=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=5\)
\(Q=\sqrt{\left(a+5\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2\left[\left(a+5\right)^2+b^2+\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2\right]}\) (Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+8a+b^2+4b+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2.4a+b^2+2.2b+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2\left(a^2+4\right)+b^2+2\left(b^2+1\right)+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(3a^2+3b^2+35\right)}\le\sqrt{4\left(3.5+35\right)}=10\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=4\end{matrix}\right.\)
Cho các số thực dương x;y thỏa mãn: \(6x+9-\sqrt{y}.\left(y+1\right)=3y-\left(2x+4\right).\sqrt{2x+3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(D=xy+3y-4x^2-3\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
cho 2 số thực x,y thỏa mãn điều kiên \(x+y+25=8\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5}\right)\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-5\right)}\)