\(3x+y=1\Rightarrow y=1-3x\) (1)

a ) Thay (1) vào M ta được :

\(M=3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+9x^2-6x+1=12x^2-6x+1\)

\(=\left(\sqrt{12}x\right)^2-2\sqrt{12}x.\frac{3}{\sqrt{12}}+\frac{9}{12}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{12}x-\frac{3}{\sqrt{12}}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)

Vậy \(M_{min}=\frac{1}{4}\) tại \(x=y=\frac{1}{4}\)

b ) Thay (1) vào N ta được :

\(N=x\left(1-3x\right)=x-3x^2=-\left(\sqrt{3}x\right)^2+2.\sqrt{3}x.\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\)

\(=-\left(\sqrt{3}x-2.\sqrt{3}x.\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{12}\right)+\frac{1}{12}=-\left(\sqrt{3}x-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2+\frac{1}{12}\le\frac{1}{12}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy \(N_{max}=\frac{1}{12}\) tại \(x=\frac{1}{6};y=\frac{1}{2}\)

1) \(A=\frac{2018x^2-2.2018x+2018^2}{2018x^2}=\frac{\left(x-2018\right)^2+2017x^2}{2018x^2}=\frac{\left(x-2018\right)^2}{2018x^2}+\frac{2017}{2018}\)

vì \(\frac{\left(x-2018\right)^2}{2018x^2}\ge0\Rightarrow\frac{\left(x-2018\right)^2}{2018x^2}+\frac{2017}{2018}\ge\frac{2017}{2018}\)

dấu = xảy ra khi x-2018=0

=> x=2018

Vậy Min A=\(\frac{2017}{2017}\)khi x=2018

2) \(B=\frac{3x^2+9x+17}{3x^2+9x+7}=\frac{3x^2+9x+7+10}{3x^2+9x+7}=1+\frac{10}{3x^2+9x+7}=1+\frac{10}{3.x^2+9x+7}\)

\(=1+\frac{10}{3.\left(x^2+9x\right)+7}=1+\frac{10}{3.\left[x^2+\frac{2.x.3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]-\frac{9}{4}+7}=1+\frac{10}{3.\left(x+\frac{9}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}\)

để B lớn nhất => \(3.\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)nhỏ nhất

mà \(3.\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)vì \(3.\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

dấu = xảy ra khi \(x+\frac{3}{2}=0\)

=> x=\(-\frac{3}{2}\)

Vậy maxB=\(41\)khi x=\(-\frac{3}{2}\)

3) \(M=\frac{3x^2+14}{x^2+4}=\frac{3.\left(x^2+4\right)+2}{x^2+4}=3+\frac{2}{x^2+4}\)

để M lớn nhất => x²+4 nhỏ nhất

mà \(x^2+4\ge4\)(vì x² lớn hơn hoặc bằng 0)

dấu = xảy ra khi x² =0

=> x=0

Vậy Max M\(=\frac{7}{2}\)khi x=0

ps: bài này khá dài, sai sót bỏ qua =))

ê viết lộn dòng này :v

\(MinA=\frac{2017}{2018}\)nha 

Thanks. <3

a) A = x( 5 - 3x ) = -3x² + 5x = -3( x² - 5/3x + 25/36 ) + 25/12

= -3( x - 5/6 )² + 25/12 ≤ +25/12 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 5/6

Vậy MaxA = 25/12 <=> x = 5/6

b) Từ x + y = 7 => x = 7 - y

Ta có : xy = ( 7 - y ).y = 7y - y² = -( y² - 7y + 49/4 ) + 49/4 = -( y - 7/2 )² + 49/4 ≤ 49/4 ∀ y

Dấu "=" xảy ra <=> y = 7/2 => x = 7/2

Vậy Max(xy) = 49/4 <=> x = y = 7/2

( nếu cho x,y dương thì Cauchy nhanh gọn luôn :)) )

c) F = x( x - 3 )( x - 4 )( x - 7 )

= [ x( x - 7 ) ][ ( x - 3 )( x - 4 ) ]

= ( x² - 7x )( x² - 7x + 12 )

Đặt t = x² - 7x

F = t( t + 12 ) = t² + 12t = ( t² + 12t + 36 ) - 36 = ( t + 6 )² - 36

= ( x² - 7x + 6 )² - 36 ≥ -36 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x² - 7x + 6 = 0 <=> x = 1 hoặc x = 6

Vậy MinF = -36 <=> x = 1 hoặc x = 6

\(3=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{xy}\Leftrightarrow x+y+1=3xy\)

\(\Leftrightarrow y\left(3x-1\right)=x+1\Leftrightarrow y=\dfrac{x+1}{3x-1}\)

\(\left(3x^2+1\right)\left(3+1\right)\ge\left(3x+1\right)^2\Rightarrow\sqrt{3x^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\left(3x+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{3x^2+1}}\le\dfrac{4}{3x+1}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{4}{3x+1}+\dfrac{4}{3y+1}=\dfrac{4}{3x+1}+\dfrac{2\left(3x-1\right)}{3x+1}=\dfrac{6x+2}{3x+1}=2\)

\(A_{min}=2\) khi \(x=y=1\)

đặt x+y=a; xy=b; ta có \(b\le\frac{a^2}{4}\)

B = \(a^2-b-3a+2019\ge a^2-\frac{a^2}{4}-3a+2019=\frac{3}{4}\left(a-2\right)^2+2016\)\(\ge2016\)

B đạt GTNN khi a= \(2;a^2=4b\) <=> x=y = 1

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Sửa thành tìm GTLN nhé !

Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :

\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:

\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)